Allemaal Getallen Index 0017

\(17=8+9\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(17=2+3+5+7\) (som van opeenvolgende priemgetallen → \(17\) is het enige priemgetal met die eigenschap)

\(17\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+4^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+2^2+3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;1;4)\,(0;2;2;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#2\}\)

\(17=2^4+1^n\) (ook te schrijven als \(4^2+1^n\,\)) \(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+3^2\)

\(17=2*3^2-1\)

\(17=1^2+2^2+2^2+2^2+2^2\)

\(17=4!!\,+\,!4\) (double factorial \(4=8\) en subfactorial \(4=9\))

\(17\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[#f4f4f4,3px,border:1px solid]{1^3+2^3+2^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(0;0;0;0;0;0;1;2;2)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}\)

\(17\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[peachpuff,3px]{2^3+3^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{[\bbox[tan,3px]{3^4}][9^2]-[2^6][\bbox[tan,3px]{4^3}][8^2]}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2-2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^2-2^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}23^2-[2^9][8^3]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}282^2-43^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}375^2-52^3\)

\(17\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,13\) oplossingen bekend

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{1^3+2^3+2^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{25^3+50^3+(-52)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-103)^3+(-111)^3+135^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-390)^3+(-391)^3+492^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{408^3+473^3+(-558)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{2195^3+2977^3+(-3331)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-13949)^3+(-44413)^3+44867^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-215872)^3+(-296407)^3+330502^3}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-511173)^3+(-677757)^3+763403^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-32546740372)^3+(-588575165482)^3+588608337577^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{219796192592^3+747072196334^3+(-753360932855)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-282008703562)^3+(-10612020050554)^3+10612086435169^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-246022729772111)^3+(-588391682096728)^3+602393284304240^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(17\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-1)^5+7^5+13^5+13^5+(-15)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\)

\(17\) is het kleinste getal dat op \(2\) wijzen kan geschreven worden als som van een kwadraat en een derdemacht :
\(17=1^3+4^2=2^3+3^2~~\) (zie ook bij en )

\(17\) is een priemgetal dat kan geschreven worden als \(2^3+3^2\) (dit is van de vorm \(ab+ba\) met \(a\) en \(b\) priem)
Priemgetallen van de vorm \(ab+ba\) met \(1\lt\,a\lt\,b\) heten LEYLAND priemgetallen. De lijst van LEYLAND
priemgetallen begint als volgt : \(3,17,593,32993,2097593,8589935681,\ldots\) (OEIS A094133).
Zie voor meer details bij . Bovendien is \(17=3^4-4^3\) en dus ook een LEYLAND priemgetal van de tweede
soort ( hiervoor is de formule \(ab-ba\) met \(1\lt\,a\lt\,b\) )

Er zijn twee rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan \(17\) één van de zijden is :
\((8;15;17),(17;144;145)\)

\(17=2^{2^2}+1=16+1\) is het enige priemgetal, samen met \(2\) (\(2=1^{1^1}+1)\) dat geschreven kan
worden in de vorm \(n^{n^n}+1\).

\(17\) kan niet uitgedrukt worden als som van twee priemgetallen.

\(17\) kan op vier wijzen geschreven worden enkel als som van drie priemgetallen waarbij telkens één priemgetal
exact tweemaal wordt gebruikt :

$$ 3~primes~all~with~doubles \left[ \begin{matrix} &2&+&2&+&13\\ &3&+&3&+&11\\ &3&+&7&+&7\\ &5&+&5&+&7 \end{matrix} \right. $$

\(17^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2*12^2+1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2\)

\(17^2=2*12^2+1\) (oplossing van een vergelijking van PELL) (OEIS A000129)

\(17^3=4913~~\) en \(~~4+9+1+3=17~~\) ( hetzelfde geldt voor de getallen ).
\(\qquad\;\;\,\)Zie ook (OEIS A046459)

\(17^3=(18^3-1)/(18-1)\) (dit patroon komt enkel nog voor bij en )

\(17^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24^3+54^3-55^3\)

\(17^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}83521\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(8+3+5+2-1)^4\)

\(17^6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}24137569\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(24-13+75-69)^6\)

De \(17\)de macht van een getal eindigt op hetzelfde cijfer als het getal. Dus zonder berekening weten we dat
bvb. \(48^{17}\) een getal is dat eindigt op \(8\) (een getal van \(29\) cijfers om precies te zijn).

Een getal van de vorm \(\small{\text{ABCDEFGH_ABCDEFGH}}\) (twee identieke groepen van \(8\) cijfers (en zijn dus ook
tautonymisch)) is deelbaar door \(17\) : vb. \(12538145\_12538145=17*73753794855185\)

De formule \(n^2+n+17\) levert priemgetallen op voor \(n=0\) tot \(15:17,19,23,29,37,47,59,73,89,\)
\(107,127,149,173,199,227,257\). Voor \(n=16\) of \(17\) hebben we geen priemgetal, maar vanaf \(n=18\)
komen er soms terug priemgetallen te voorschijn.

Startend van priemgetal \(p=3430751869\) kunnen we een arithmetische progressie maken door er telkens
\(q=87297210\) bij op te tellen zodanig dat elke som ook een priemgetal is. (In formele notatie schrijven we
\(\text{(is_prime(p+n*q)=true → for n=0 tot 16}\)). In totaal levert dit dus met \(p\) erbij \(17\) priemgetallen.

\(1/17 = 0,\overline{0588235294117647}\;\overline{0588235294117647}\;\overline{058823\ldots}\)
Nemen we het eerste deel (tot waar de cijferreeks zich begint te herhalen aangeduid met een vinculum),
dan hebben we het getal \(0,0588235294117647\).
Dit getal vermenigvuldigen we met de natuurlijke getallenreeks :
\begin{align} ~*2&=0,1176470588235294\\ ~*3&=0,1764705882352941\\ ~*4&=0,2352941176470588\\ ~*5&=0,2941176470588235\\ ~*6&=0,3529411764705882\\ ~*7&=0,4117647058823529\\ ~*8&=0,4705882352941176\\ ~*9&=0,5294117647058823\\ ~*10&=0,5882352941176470\\ ~*11&=0,6470588235294117\\ ~*12&=0,7058823529411764\\ ~*13&=0,7647058823529411\\ ~*14&=0,8235294117647058\\ ~*15&=0,8823529411764705\\ ~*16&=0,9411764705882352\\ (~*17&=1~~\text{als we de oneindig doorlopende reeks decimalen in aanmerking nemen })\\ \end{align} Gelijkaardige breuken zie . Zie ook variante bij

We krijgen telkens dezelfde cijferreeks met volgende vermenigvuldigingen : \begin{align} 65359477124183*17&=1111111111111111\\ 65359477124183*34&=2222222222222222\\ 65359477124183*51&=3333333333333333\\ 65359477124183*68&=4444444444444444\\ 65359477124183*85&=5555555555555555\\ 65359477124183*102&=6666666666666666\\ 65359477124183*119&=7777777777777777\\ 65359477124183*136&=8888888888888888\\ 65359477124183*153&=9999999999999999\\ \end{align}

Er bestaan \(17\) verschillende symmetrieën voor een tweedimensionaal patroon, ook gekend als
de behangpatroongroepen (Eng : wall paper group) (Wikipedia)

GAUSS bewees dat een regelmatige \(17\)-hoek construeerbaar is met liniaal en passer.

In Italië is \(17\) het ongeluksgetal. Dat heeft te maken met het feit dat \(17\) in Romeinse cijfers \(= \text{XVII}\) en
hiermee kan men het anagram “\(\text{VIXI}\)” maken, wat wil zeggen “ik heb geleefd” (en dus onrechtstreeks :
ik ben dood). Zie ook bij

Een \(9*9\) sudoku vereist minimaal \(17\) gegeven cijfers om éénduidig te kunnen oplossen.

EEN PUZZEL

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Een sjeik wil bij testament aan zijn drie zonen zijn \(17\) kamelen schenken. De oudste krijgt
de helft van de kamelen, de middelste één derde en de jongste moet tevreden zijn met \(1/9\). Hoe moet de
verdeling gebeuren zodanig dat de kamelen intact blijven (stukken van kamelen zijn geen oplossing !).
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
Ten einde raad wenden de drie broers zich tot de dorpsoudste. De man komt ter plaatse op
zijn eigen kameel, plaatst het dier bij de \(17\) overige en begint te rekenen : De oudste krijgt de helft van
de nu \(18\) kamelen, dus \(9\) stuks. Dan is de middelste aan de beurt : hij krijgt \(1/3\) van \(18\) dus \(6\) kamelen.
Tenslotte krijgt de jongste \(1/9\) dus \(2\) kamelen. Samen hebben ze \(9+6+2=17\) kamelen. De dorpsoudste
neemt zijn kameel terug en rijdt rustig naar huis terug. Het plaatje klopt omdat \(1/2+1/3+1/9=17/18\).
Een uitgebreide analyse vindt men in hoofdstuk Erfenis verdelen uit “Puzzelen met Getallen”.

EEN PUZZEL

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Men neemt twee opeenvolgende getallen en de som van beide getallen. Men vermenigvuldigt
beide getallen met elkaar en ook met hun som. De uitkomst is \(1224\). Welke zijn die twee getallen ?
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
Stel dat men als volgt te werk gaat : Noem de getallen \(n\) en \(n+1\) en hun som \(2n+1\). Het
product is dan \(n*(n+1)*(2n+1)=2n^3+3n^2+n\) en dat is gelijk aan \(1224\). Men dient dan de
derdegraadsvergelijking \(2n^3+3n^2+n-1224=0\) op te lossen. Met een online calculator is de klus
veel sneller geklaard dan met handwerk (de formules zijn niet van de poes !). Men vindt een wortel \(8\) die
voldoet en ook twee imaginaire wortels \((-4,75\pm7,34422\;i\) voor wie geïnteresseerd is).
Veel directer is de volgende aanpak : \(1224\) is het product van twee opeenvolgende getallen en hun som.
Bij twee opeenvolgende getallen is er één paar en één onpaar, dus hun som is onpaar. Als we \(1224\)
ontbinden in factoren komt er \(1224=2^3*3^2*17\). Men ziet in één oogopslag dat dit niets anders is dan
\(8*9*17\) oftewel twee opeenvolgende getallen met elkaar vermenigvuldigd en dan nogmaals maal hun som.

EEN PUZZEL

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Er zijn precies \(17\) verschillende manieren om \(17\) te schrijven als de som van één of meer
priemgetallen. Dergelijke sommen noemt men partities, en toevallig is \(17\) het enige getal dat gelijk is aan
het aantal van zijn partities in priemgetallen (Als men alle getallen zou toelaten dan heeft \(17\) in totaal
\(297\) partities, zoals bvb. \(14+3;12+4+1;...\) maar hier beperken we ons tot partities die uitsluitend
uit priemgetallen bestaan)
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
Met de priemgetallen \(2;3;5;7;11;13\) en \(17\) lukt het om de volgende \(17\) partities te vinden : \begin{cases} 17\\ 13+2+2\\ 11+3+3\\ 11+2+2+2\\ 7+7+3\\ 7+5+5\\ 7+5+3+2\\ 7+3+3+2+2\\ 7+2+2+2+2+2\\ 5+5+5+2\\ 5+5+3+2+2\\ 5+3+3+3+3\\ 5+3+3+2+2+2\\ 5+2+2+2+2+2+2\\ 3+3+3+3+3+2\\ 3+3+3+2+2+2+2\\ 3+2+2+2+2+2+2+2\\ \end{cases} Voor een variante met oneven priemgetallen zie

Het \(17\)-lijnen probleem van FOURIER (Frans wiskundige) : Schik \(17\) lijnen (waarvan we aannemen dat ze
oneindig ver doorlopen in beide richtingen) in een vlak zodanig dat er precies \(101\) snijpunten zijn.
Bovendien is er geen enkel snijpunt dat tot meer dan \(2\) lijnen behoort. Het probleem kent \(4\) verschillende
oplossingen.

\(17\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(27\) oplossingen) :
\(26843/1579=28543/1679=29546/1738=36958/2174=45713/2689=45781/2693=54689/3217=\)
\(59126/3478=64957/3821=65297/3841=67184/3952=67218/3954=76823/4519=76891/4523=\)
\(78132/4596=78523/4619=78591/4623=81532/4796=83572/4916=83657/4921=89437/5261=\)
\(89471/5263=89641/5273=91426/5378=92837/5461=92871/5463=93126/5478=17\)

\(17\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(19\) oplossingen) :
\(105978/6234=107984/6352=125936/7408=126803/7459=130594/7682=\)
\(135082/7946=136459/8027=137564/8092=140369/8257=140539/8267=\)
\(140573/8269=142069/8357=147203/8659=153476/9028=153782/9046=\)
\(154326/9078=157046/9238=162078/9534=165308/9724=17\)

\(17\) schrijven met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \(4\) :
\(~~1*34/2~~=~~12+3+\sqrt4~~=~~4!-3*2-1~~=~~\) Vindt jij er meer ?

Geen enkel oneven getal van Fibonacci is deelbaar door \(17\) (bij de even getallen is \(34=2*17\))

Men moet \(17\) tot minimaal de \(785\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(17\) \(17\)'s verschijnen.
Terloops : \(17\)\(^{785}\) heeft een lengte van \(966\) cijfers.

\(785\) en \(966\) zijn getallen wiens faculteit \(16\) heeft als twee laatste cijfers vóór de achterliggende nullen.
\(785!=2500\ldots56{\color{blue}{16}}0000\ldots~~\) en \(~~966!=7096\ldots40{\color{blue}{16}}0000\dots~~~~~~\) (OEIS A045554)

De vormen \(17\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^4-4^3\) waarbij exponent en grondtal met dezelfde cijfers geschreven worden, zijn uniek.

\(17^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(289\)

\(17^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}17^2+68^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}47^2+52^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}71^2-2^7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{153^2-136^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2457^2-2456^2\)

De eerste keer dat er \(17\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(523\) en \(541\)
met aldus een priemkloof van \(18\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

Er zijn \(3\) getallen van zeventien cijfers die gelijk zijn aan de som van de \(zeventiende\) macht van hun cijfers :

\(21897142587612075=\)

\(2\)\(^{17}\)\(\,+\,1\)\(^{17}\)\(\,+\,8\)\(^{17}\)\(\,+\,9\)\(^{17}\)\(\,+\,7\)\(^{17}\)\(\,+\,1\)\(^{17}\)\(\,+\,4\)\(^{17}\)\(\,+\,2\)\(^{17}\)\(\,+\,5\)\(^{17}\)\(\,+\,8\)\(^{17}\)\(\,+\,7\)\(^{17}\)\(\,+\,6\)\(^{17}\)\(\,+\,1\)\(^{17}\)\(\,+\,2\)\(^{17}\)\(\,+\,0\)\(^{17}\)\(\,+\,7\)\(^{17}\)\(\,+\,5\)\(^{17}\)

De overige twee getallen zijn \(35641594208964132,35875699062250035\)

\(F(17)~=~1597~~\)is een Fibonacci priemgetal. (OEIS A001605) (OEIS A005478)

Som der reciproken van partitiegetallen van \(17\) is \(1\) op één wijze.

Dit is evenwel geen partitie met unieke termen.

\((1)~~17=3+4+4+6~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{6}}\)

\(17\) is het kleinste getal zodanig dat er een set is van \(17\) opeenvolgende getallen waar geen enkel getal relatief priem
(copriem) is tegenover alle andere termen. Of anders uitgelegd :
Tussen elke set van \(16\) opeenvolgende getallen moet er één zijn die relatief priem (copriem) is tegenover elk van de \(15\)
overgeblevenen. En \(16\) is het grootst mogelijke aantal. Er is tenminste één voorbeeld van \(17\) opeenvolgende gehele
getallen dat zo een speciaal getal niet bevat.
(relatively prime to every other integer in a set)

\(\begin{align}17\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{18}{7}}\right)^3-\left({\frac{1}{7}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{11663}{40831}}\right)^3+\left({\frac{104940}{40831}}\right)^3\end{align}\) zijn sommen van derdemachten van rationele getallen
ontdekt door H. Dudeney.

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356) [y waarde] (OEIS A190580) [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326) [y waarde] (OEIS A254324)

\((17\)\(^{17}\)\(+1)/(17+1)\) is een priemgetal \((=45957792327018709121)\), de derde in zijn soort \((p^p+1)/(p+1)\)

De decimale expansie van \(2\)\(^{(17+17)}\) begint met \(1717\).

Het omgekeerde van de decimale expansie van \(2\)\(^{17}\) is een priemgetal \(131072\to270131\).

\(17\)\(^{7}\)\(+17\)\(^{4}\)\(+17\)\(^{1}\)\(+17\)\(^{3}\)\(+17\)\(^{2}\)\(+17\)\(^{4}\)\(+17\)\(^{5}\)\(+17\)\(^{6}\)\(+17\)\(^{5}\)\(+17\)\(^{8}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7413245658~~\) (OEIS A236067)

\(17*(2*17)=17*34\) is een deler van de aaneenschakeling \(1734\to 3*578\)

Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
“Allemaal Getallen”

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)

\(17\)	\(17\)	\(2\)	\(18\)
	\(1,17\)
	Priemgetal	\(10001_2\)	\(11_{16}\)

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 16 november 2024