\(16=2^4\to\) Machten van \(2\) kunnen niet geschreven worden als som van opeenvolgende gehele getallen \(16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+3+5+7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+9\) (som van opeenvolgende onpare getallen) \(16=3+5+8\) (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen) \(16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+3+11\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5+11\) (som van priemgetallen op drie verschillende wijzen; uit een totaal van \(14\)) \(16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6+10\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(3)+D(4)\) (som van opeenvolgende driehoeksgetallen) \(16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)zowel een tweede macht \((4^2)\) als een vierde macht \((2^4)\). De vorm \(2^4=4^2\) is bovendien uniek. \(16=((0;0;0;4)\,(2;2;2;2))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#2\}\) \(16=(2^2+2^2)*(1^2+1^2)\) \(16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[#f4f4f4,3px,border:1px solid]{0^3+2^3+2^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2-3^2\) (zijden van een rechthoekige driehoek, stelling van PYTHAGORAS)\) \(16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)op vele wijzen te schrijven als de som van kwadraten : \(\,\,\qquad1^2+1^2+1^2+1^2+1^2+1^2+1^2+1^2+2^2+2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+1^2+1^2+2^2+3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\,\,\qquad1^2+1^2+1^2+1^2+2^2+2^2+2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+1^2+1^2+1^2+1^2+1^2+1^2+3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+2^2+2^2+2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) enz. \(16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^5-[2^4][4^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2-3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12^2-2^7\) | 16.1 | |
\(16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten) \(\qquad\;\,\)Er zijn heel veel mogelijke oplossingen ! Cfr. machten \(2^3, 3^3, \ldots\) \(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes \(16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten) \(\qquad\;\,\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\) | 16.2 | |
| \(16\) is het kleinste getal dat op twee verschillende wijzen is te schrijven als som van twee verschillende priemgetallen. \(16\) als som van twee priemgetallen (bovendien zijn alle getallen oneven) : $$ 2~odd~primes \left[ \begin{matrix} \\ &3&+&13\\ &5&+&11\\ \\ \end{matrix} \right. $$ \(16\) als som van drie priemgetallen :$$ 3~primes \left[ \begin{matrix} \\ &&\mathbf{2}&+&\mathbf{3}&+&\mathbf{11}\\ &2&+&7&+&7\\ \\ \end{matrix} \right. $$ | 16.3 | |
| Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\) \(16=(3+3)+(3-3)+(3*3)+(3/3)\) \(16=(4+1)+(4-1)+(4*1)+(4/1)\) | 16.4 | |
| \(16=\sqrt{256}=2*5+6\) | 16.5 | |
\(16={\Large\frac{6\;*\;7\;*\;8}{6~+~7~+~8}}\) | 16.6 | |
| De som van de cijfers van \(16=1+6=\underline{1+1+2+3}\); het product van de cijfers van \(16=1*6=\underline{1*1*2*3}\) | 16.7 | |
\(16^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(256\) \(16^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{11}+2^{11}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{13}-[2^{12}][4^6][8^4][16^3][64^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}80^2-48^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{136^2-120^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}192^2-[2^{15}][8^5][32^3]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}260^2-252^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad\;\;\,514^2-510^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1025^2-1023^2\) | 16.8 | |
\(16^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+2^2+7^2+9^2+11^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+3^2+5^2+10^2+11^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+5^2+7^2+9^2+10^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad\;\;\,2^2+3^2+5^2+7^2+13^2\) (met \(5\) verschillende kwadraten op \(4\) verschillende wijzen) \(16^2=8^2+8^2+8^2+8^2\) \(16^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15^3+9^3-2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3-2^3-10^3+12^3+15^3\) \(16^3=4096=({\color{blue}{4^0}}+{\color{blue}{9}}+{\color{blue}{6}})^3\) | 16.9 | |
| \(16^6=\underline{16}7772\underline{16}\) | 16.10 | |
| \(16!=2!*5!*14!\) | 16.11 | |
| \(16\) is een bijna-perfect getal : de som van alle delers is gelijk aan \(31\) en dat is één minder dan \(2*16\). Zie ook (OEIS A000079) | 16.12 | |
| \(16\) is het kleinste kwadraat dat op twee verschillende wijzen kan geschreven worden als de som van twee driehoeksgetallen : \(16\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6+10\) | 16.13 | |
| \(\text{N}^4 + 4^4\) is deelbaar door \(16\) als \(\text{N}\) een even getal is : vb. \(\text{N}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6\to6^4+4^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1552\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}16*97\) | 16.14 | |
| Een opvallende relatie tussen \(13\) en \(16\) : \(\underline{16}^2=256~~\) en \(~~2+5+6=\mathbf{13}~~\to~~\mathbf{13}^2=169~~\) en \(~~1+6+9=\underline{16}\). Zie bij | 16.15 | |
| \(16\) is het enige getal dat voldoet aan de vergelijking \(a^n=n^a\) waarbij \(n\) en \(a\) verschillend zijn : \(2^4=4^2\) | 16.16 | |
| \(16\) en zijn opvolger \(17\) hebben iets met palindroomgetallen : \begin{align} 16+17&=33\\ 16\,*\,17&=272\\ 16^2+17^2&=545 \end{align} | 16.17 | |
| \(16\) schrijven met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \(4\) : \(~~4*(3+2-1)~~=~~(4!-2^3)*1~~=~~1*2*3!+4~~=~~(1+3)*(2+\sqrt4)\) | 16.18 | |
| Er zijn drie rechthoekige driehoeken met gehele zijden en \(16\) als zijde : \((12;16;20),(16;30;34),{\color{purple}{(16;63;65)}}\) \(16\) is de kortste zijde van een primitieve Pythagoreïsche driehoek met drie zijden van samengestelde getallen. | 16.19 | |
| Een vierkant met zijde \(4\) heeft hetzelfde getal \(16\) als omtrek of als oppervlakte : omtrek \(4*4\) ; oppervlakte \(4^2\) Dit is uniek! Er is wel een rechthoek met dezelfde eigenschap : deze meet \(3\) bij \(6\) en heeft het maatgetal \(18\) zowel voor omtrek als voor oppervlakte. | 16.20 | |
| In de algebra van BOOLE (de wiskundige vorm van logisch redeneren) zijn \(16\) mogelijke logische operatoren mogelijk tussen twee logische variabelen. | 16.21 | |
| Een getalpiramide \begin{align} 4^2&=\mathbf{16}\\ 34^2&=\mathbf{1}15\mathbf{6}\\ 334^2&=\mathbf{1}1155\mathbf{6}\\ 3334^2&=\mathbf{1}111555\mathbf{6}\\ 33334^2&=\mathbf{1}11115555\mathbf{6}\\ \cdots&=\cdots \end{align} | 16.22 | |
| EEN PUZZEL
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\) | 16.23 | |
| \(16\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(3\) oplossingen) : \(45936/2871=73296/4581=98352/6147=16\) \(16\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(1\) oplossing) : \(150768/9423=16\) | 16.24 | |
| Men moet \(16\) tot minimaal de \(814\)de macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(16\) \(16\)'s verschijnen. Terloops : \(16\)\(^{814}\) heeft een lengte van \(981\) cijfers. \(814\) en \(981\) vereisen \(5\) iteraties om een priemgetal te bereiken via aaneenschakeling van priemfactoren : \(814\to2*11*37=21137\to23*919=23919\to3*7*17*67=371767\to11*33797=1133797\to\) \(7*161971=\color{green}{7161971=Priemgetal!}\) \(981\to3*3*109=33109\to113*293=113293\to277*409=277409\to11*25219=1125219\to\) \(3*157*2389=\color{green}{31572389=Priemgetal!}\) (OEIS A046425) \(814\) en \(981\) zijn getallen die tevens een aaneenschakeling zijn van twee kwadraten in het tiendelig getalstelsel : \(81|4\) en \(9|81~~~~\) of \(~~~~9^2|2^2\) en \(3^2|9^2~~~~\) (OEIS A191933) | 16.25 | |
Er zijn \(2\) getallen van zestien cijfers die gelijk zijn aan de som van de \(zestiende\) macht van hun cijfers : \(4338281769391370=4\)\(^{16}\)\(\,+\,3\)\(^{16}\)\(\,+\,3\)\(^{16}\)\(\,+\,8\)\(^{16}\)\(\,+\,2\)\(^{16}\)\(\,+\,8\)\(^{16}\)\(\,+\,1\)\(^{16}\)\(\,+\,7\)\(^{16}\)\(\,+\,6\)\(^{16}\)\(\,+\,9\)\(^{16}\)\(\,+\,3\)\(^{16}\)\(\,+\,9\)\(^{16}\)\(\,+\,1\)\(^{16}\)\(\,+\,3\)\(^{16}\)\(\,+\,7\)\(^{16}\)\(\,+\,0\)\(^{16}\) Het overige getal is \(4338281769391371\) | 16.26 | |
Alle getallen van \(1\) tot \(16\) worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheid van producten van machten. Hier alvast enkele voorbeelden uit de vele combinaties met verdeelsleutels \([2-6]\), \([3-5]\) en \([4-4]\). \begin{align} 9^{13}*16^{15}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^7*3^{14}*4^5*6^{11}*8^{10}*12^1\\ 2^7*8^{15}*9^{13}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^{11}*4^{14}*6^{10}*12^5*16^1\\ 3^{11}*4^8*15^{13}*16^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^{14}*5^7*9^{12}*10^6 \end{align} | 16.27 | |
\(16=4^2={\Large\frac{5!\,-\,4!}{3!}}\) | 16.28 | |
Voor \(n=16~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+9) ~~\to~~ {\large\sigma}(16)={\large\sigma}(25)=31~~~~({\large\sigma}\) of 'sigma' staat voor som der delers) \(16\) is de tweede oplossing uit (OEIS A015877) | 16.29 | |
\(16!!-1~~\)is een priemgetal van \(8\) cijfers lang (\(10321919\)). (OEIS A007749) (Dubbelfaculteit) Pari/GP code : isprime(prod(i=1,16/2,2*i)-1)→ 1 (true) | 16.30 | |
Som der reciproken van partitiegetallen van \(16\) is \(1\) op één wijze. Dit is evenwel geen partitie met unieke termen; integendeel alle termen zijn identiek. \((1)~~16=4+4+4+4~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}~~\) | 16.31 | |
\(16\)\(^{16}\) eindigt met tweemaal \(16\to1844674407370955{\color{blue}{1616}}\) | 16.32 | |
\({\color{blue}{16}}+17+18+19+20=21+22+23+24={\color{tomato}{90}}\) Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende gehele getallen. Dit is een eigenschap van de kwadraten zoals \(k=16=4^2\). De linkersom heeft \(\sqrt{k}+1\) termen en de rechtersom \(\sqrt{k}\). | 16.33 | |
\(2\)\(^{16}\)\(\,+\,3\) is een priemgetal \((=65539)\), de negende in zijn soort \((2^k+3)~~\) (OEIS A057732) | 16.34 | |
\(16\)\(^{1}\)\(+16\)\(^{0}\)\(+16\)\(^{5}\)\(+16\)\(^{3}\)\(+16\)\(^{2}\)\(+16\)\(^{0}\)\(+16\)\(^{2}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1053202~~\) (OEIS A236067) | 16.35 |
| Schakelaar \(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\) “Allemaal Getallen” |
|---|
| \(16\) | \(2^4\) | \(5\) | \(31\) |
| \(1,2,4,8,16\) | |||
| \(10000_2\) | \(20_8\) | \(10_{16}\) | |
| \(16=4^2=2^4\) | |||
| Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email) Laatste update 14 september 2024 |