\(15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+2+3+4+5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+5+6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+8~~\) (som van opeenvolgende gehele getallen) \(15=3+5+7\) (som van opeenvolgende onpare getallen) (som van opeenvolgende priemgetallen) \(15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+1^2+2^2+3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1;1;2;3)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#1\}\) \(15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(0;1;1;1;1;1;1;1;2)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}\). \(\qquad\;\,\)Zie verder bij “Een weetje” \(15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^4-2^0\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^4-1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(2^2-1)*(2^2+1)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(4-1)*(4+1)\) \(15=2^0+2^1+2^2+2^3\) of anders geschreven \(15=1+2+4+8\) \(15=3+3*2+3*2*1\) \(15=3^3-3^2-3^1\) \(15=5!/2^3\) \(15=3!+3^2\) \(15=4!\,-\,!4\) \(15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+2+3+4+5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(5)\) \(15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+5+6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+8\) (noteer de opeenvolging van de cijfers \(4\) tot \(8\) ) \(15=\Large\frac{\sqrt{15^2\,+\,15^3}}{\lceil\sqrt{15}\,\rceil}\) \(15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{[2^6][4^3][8^2]-7^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1138^2-109^3\) | 15.1 | |||||||||
\(15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten) \(\qquad\;\,10\) oplossingen bekend \(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes \(15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten) \(\qquad\;\,\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\) | 15.2 | |||||||||
\(15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)De uitdrukking \(~8^2-7^2~\) als verschil van twee opeenvolgende kwadraten bestaat bij alle onpare getallen : \(\qquad\;\,\)men heeft de algemene formule \(2A+1=(A+1)^2-A^2\); hier is \(A=7\). \(\qquad\;\,\)Alles wordt ook nog extra belicht via een gearceerd bruin kadertje. Zie ook bij en | 15.3 | |||||||||
\(15\) kan geschreven worden met vier vieren : \(15=4+\Large{44\over4}\) | 15.4 | |||||||||
Elk product van vier opeenvolgende gehele getallen is deelbaar door \(24\) \(15={\Large\frac{3~*~4~*~5~*~6}{24}}~~~~\) (OEIS A000332) | 15.5 | |||||||||
| \(15\) als som van twee priemgetallen kan slechts op één wijze :
$$ 2~primes \left[ \begin{matrix} \\ &2&+&13\\ \\ \end{matrix} \right. $$ \(15\) als som van drie priemgetallen kan op drie wijzen :$$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &2&+&2&+&11\\ &&\mathbf{3}&+&\mathbf{5}&+&\mathbf{7}\\ &5&+&5&+&5 \end{matrix} \right. $$ | 15.6 | |||||||||
\(15\to89\to\) \begin{align} 2^1+6^1+7^1&=3^1+4^1+8^1\\ en&\;ook\\ 2^2+6^2+7^2&=3^2+4^2+8^2 \end{align} \(15\to101\to\) \begin{align} 1^1+6^1+8^1&=2^1+4^1+9^1\\ en&\;ook\\ 1^2+6^2+8^2&=2^2+4^2+9^2 \end{align} | 15.7 | |||||||||
\(15^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(225\) \(15^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}60^2-{\color{blue}{15}}^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}76^2-[7^4][49^2]\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}80^2-55^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{120^2-105^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}192^2-183^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}340^2-335^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad\;\;\;564^2-561^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{1688^2-1687^2}\) | 15.8 | |||||||||
\(15^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+5^2+14^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+10^2+11^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+4^2+6^2+13^2\) \(15^3=5^5+5^3+5^3={\color{blue}{3375}}={(\color{blue}{3^3}}-{\color{blue}{7}}-{\color{blue}{5}})^3\) | 15.9 | |||||||||
\(15^4=225^2=50625\) en dezelfde cijfers vindt men in \(65025=255^2\) \(15^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^4+2^4+6^4+12^4+13^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^4+6^4+8^4+9^4+14^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^4+6^4+9^4+12^4+12^4\) | 15.10 | |||||||||
| \(15^5=(7-5+9-3+7)^5=759375\) is een Friedman getal (OEIS A036057) | 15.11 | |||||||||
\(15\) is één van de \(8\) getallen van \(2\) verschillende cijfers die gelijk zijn aan een ééncijferig veelvoud van het cijfer van de eenheden : \(15=3*5\). De andere getallen zijn \(12,24,25,35,36,45\) en \(48\). Zie bij | 15.12 | |||||||||
| \(15*93=1395\) (zelfde cijfers aan weerszijden van het gelijkheidsteken) | 15.13 | |||||||||
| \(15\) is samen met \(24\) het enige getal dat gelijk is aan \(3\) maal het product van zijn cijfers. | 15.14 | |||||||||
Er zijn \(15\) priemgetallen van drie cijfers die tevens palindroom zijn. De volledige lijst staat in het hoofdstuk Priemgetallen uit “Getallen in detail”. of ook hier (Palindromic Primes Page 1) | 15.15 | |||||||||
| Er zijn \(\mathbf{1}+\mathbf{5}=6\) priemgetallen kleiner dan \(\mathbf{15}\) (namelijk \(2,3,5,7,11,13\)) | 15.16 | |||||||||
| \(15\) is het product van \(2\) priemgetallen : \(15=3*5\). Het omgekeerde van \(15\), het getal \(51\), is ook het product van twee priemgetallen : \(51=3*17\) | 15.17 | |||||||||
| Het kleinste magische vierkant (zie bij ) heeft als som van elke rij, kolom of diagonaal \(15\). | 15.18 | |||||||||
| Er zijn drie rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan \(15\) één van de zijden is : \((15;20;25),(15;36;39),(15;112;113)\) | 15.19 | |||||||||
| Alle pare machten van \(4\), verminderd met \(1\), zijn veelvouden van \(15\) : bvb. \(4^6-1=4095=15*273\) | 15.20 | |||||||||
| Het getal \(2\), tot een macht verheven die een veelvoud is van \(4\), en dit resultaat verminderd met \(1\), is deelbaar door \(15\). Bvb. \(2^8-1=255=15*17\) | 15.21 | |||||||||
| Voor elke waarde van \(A\) is \(3*A^5+5*A^3+7*A\) deelbaar door \(15\): bvb. \(A=6\) levert \(3*6^5+5*6^3+7*6=23328+1080+42=24450=15*1630\) | 15.22 | |||||||||
| Voor een bijzondere eigenschap van \(15\), zie bij (OEIS 039669) | 15.23 | |||||||||
| \(15\) en \(21\) zijn twee driehoeksgetallen waarvan de som (\(36\)) en het verschil (\(6\)) ook driehoeksgetallen zijn; bovendien is het verschil in het kwadraat \((6^2\,)\) gelijk aan de som (\(36=15+21\)) | 15.24 | |||||||||
| Een vlak kan niet betegeld worden met regelmatige vijfhoeken (de hoeken van \(108\)° kunnen niet aaneensluiten tot \(360\)°), maar betegelingen met onregelmatige vijfhoeken zijn wel mogelijk. Er zijn precies \(15\) verschillende betegelingen bekend met onregelmatige vijfhoeken (en dat is ook het maximum aantal mogelijke verschillende betegelingen). | 15.25 | |||||||||
| Voor de \(14\) – \(15\) puzzel : zie bij → Wil je spelen ga dan bvb. naar WONplate 82 | 15.26 | |||||||||
| Twee getalpiramides
\begin{align} 34^2&=1\mathbf{15}6\\ 334^2&=11\mathbf{15}56\\ 3334^2&=111\mathbf{15}556\\ 33334^2&=1111\mathbf{15}5556 \end{align} \begin{align} \mathbf{15}^2&=225\\ \mathbf{1}6\mathbf{5}^2&=27225\\ \mathbf{1}66\mathbf{5}^2&=2772225\\ \mathbf{1}666\mathbf{5}^2&=277722225 \end{align} | 15.27 | |||||||||
| EEN WEETJE
Er zijn slechts \(15\) getallen, die, zoals \(15\), acht derdemachten vereisen om het getal als som | 15.28 | |||||||||
| \(15\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(2\) oplossingen) : \(27945/1863=92745/6183=15\) \(15\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(3\) oplossingen) : \(102735/6849=108945/7263=127035/8469=15\) | 15.29 | |||||||||
| \(15\) schrijven met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \(4\) : \(~~(3*4)+1+2~~=~~4^2-1^3~~=~~13+4/2~~=~~4!-1*3^2~~=~~\) Vindt jij er meer ? | 15.30 | |||||||||
| Men moet \(15\) tot minimaal de \(667\)de macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(15\) \(15\)'s verschijnen. Terloops : \(15\)\(^{667}\) heeft een lengte van \(785\) cijfers. Noteer, voor wat het waard is, dat \(667\) en \(785\) elk exact één keer voorkomen in de decimale expansie. \(667\) en \(785\) zijn semipriemgetallen gelijk aan de som van een kwadraat en een derdemacht : \(667=18^2+7^3=23*29~~~~\) en \(~~~~785=28^2+1^3=5*157~~~~\) (OEIS A123048) | 15.31 | |||||||||
\(15\) is een Tetra(\({\color{lightgrey}{bo}}\))nacci-getal. Daar waar Fibonacci-getallen beginnen met \(1, 1, 2, 3, 5, \ldots\) en elk getal de som is van de twee voorgaande getallen, start de Tetranacci reeks met \(1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56 \ldots\). Elk getal is dan de som van de vier voorgaande getallen. Aldus is \(15=1+2+4+8\) (OEIS A000078) | 15.32 | |||||||||
De eerste keer dat er \(15\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(1831\) | 15.33 | |||||||||
Voor elk getal \(k\) groter dan \(15\) bestaat er op zijn minst één getal tussen \(k\) en \(2*k\) dat het product is van drie verschillende priemgetallen. Bvb. tussen \(k=67\) en \(2*k=134\) vinden we o.a. \(105=3*5*7\) | 15.34 | |||||||||
Voor \(n=15~~\) geldt \(~~{\large\phi}(n)={\large\phi}(n+1) ~~\to~~ {\large\phi}(15)={\large\phi}(16)=8~~~~({\large\phi}\) of 'phi' staat voor totiënt) Zie ook bij en (OEIS A001274) | 15.35 | |||||||||
\(15*10\)\(^{15}\)\(\,-\,1~~\) is een veralgemeend Woodall priemgetal, de vijfde in zijn soort (\(k*10^k-1\)). | 15.36 | |||||||||
\(2\)\(^{15}\)\(\,+\,15~~\) is een priemgetal, de vijfde in zijn soort. (OEIS A052007) | 15.37 | |||||||||
De cijfers van \(15\), \(1\) en \(5\), plus de getallen ertussen, tellen op to \(15\) : \({\color{blue}{1}}+2+3+4+{\color{blue}{5}}=15\) | 15.38 | |||||||||
Voor \(n=15~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+8) ~~\to~~ {\large\sigma}(15)={\large\sigma}(23)=24~~~~({\large\sigma}\) of 'sigma' staat voor som der delers) \(15\) is de eerste oplossing uit (OEIS A015876) | 15.39 | |||||||||
Er zijn exact \(15\) priemgetallen die tegelijk links als rechts afknotbaar zijn (het verwijderen van een aantal cijfers langs links of langs rechts (maar niet beide) laat steeds een priemgetal achter). De volledige lijst is \(2,3,5,7,23,37,53,73,313,317,373,797,3137,3797,739397\) (OEIS A020994) | 15.40 | |||||||||
\(15\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\begin{align}\left({\frac{397}{294}}\right)^3+\left({\frac{683}{294}}\right)^3\end{align}\) (Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) \((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356) [y waarde] (OEIS A190580) [z waarde] (OEIS A190581) Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326) [y waarde] (OEIS A254324) | 15.41 | |||||||||
\(15\) is de som van de 'som der delers' van de getallen van \(1\) tot \(4\) : \((1)+(1+2)+(1+3)+(1+2+4)\) | 15.42 | |||||||||
\(2\)\(^{15}\)\(\,+\,3\) is een priemgetal \((=32771)\), de achtste in zijn soort \((2^k+3)~~\) (OEIS A057732) | 15.43 | |||||||||
Som der reciproken van partitiegetallen van \(15\) levert nooit \(1\) op. Bijgevolg ook geen partities met unieke termen. | 15.44 | |||||||||
\(15\)\(^{2}\)\(+15\)\(^{7}\)\(+15\)\(^{5}\)\(+15\)\(^{8}\)\(+15\)\(^{0}\)\(+15\)\(^{5}\)\(+15\)\(^{3}\)\(+15\)\(^{6}\)\(+15\)\(^{1}\)\(+15\)\(^{6}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2758053616~~\) (OEIS A236067) | 15.45 | |||||||||
\(15^2=(1+2)*(3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)\) \(15^3=(1+2)*(3+4+5+\cdots+45+46+47)\) | 15.46 | |||||||||
○–○–○ \(15^2=225~~\) en \(~~(2\,+\,!2)*5=15\)\(15^3=3375~~\) en \(~~3^3-7-5=15\) \(15^4=50625~~\) en \(~~5+0!-6+prime(2)*5=15\) \(15^5=759375~~\) en \(~~-7+5-9+3*7+5=15\) \(15^6=11390625~~\) en \(~~1+1+3+9+0-6+2+5=15\) \(15^7=170859375~~\) en \(~~170+8+5-93-75=15\) \(15^8=2562890625~~\) en \(~~25+6+2-8+9+0+6-25=15\) \(15^9=38443359375~~\) en \(~~384+4+3+3+5-9-375=15\) \(15^{10}=576650390625~~\) en \(~~57+66-50-39+0+6-25=15\) \(15^{11}=8649755859375~~\) en \(~~864+97+5-585+9-375=15\) \(15^{12}=129746337890625~~\) en \(~~12-9+7+4-6+3-3+78-90-6+25=15\) \(15^{13}=1946195068359375~~\) en \(~~19-4+6+1-9-5+0+68+3+5+9-3-75=15\) \(15^{14}=29192926025390625~~\) en \(~~29-1+9+29+2-60+25+39+0-62+5=15\) \(15^{15}=437893890380859375~~\) en \(~~43+7-89+38+9+0+38+0-8-5-93+75=15\) \(15^{16}=6568408355712890625~~\) en \(~~65+6-84+0+8+3+5+5+71+2-8+9+0-62-5=15\) \(15^{17}=98526125335693359375~~\) en \(~~98+5+2-61+2-5-33+569+33-593-7+5=15\) \(15^{18}=1477891880035400390625~~\) en \(~~14+778+9-1+8-800+35+40+0+3-90-6+25=15\) \(15^{19}=22168378200531005859375~~\) en \(~~221-683+782+0+0+53+10+0-5+8-5+9-375=15\) \(15^{20}=332525673007965087890625~~\) en \(~~-3+32525+6-7-30079-650-878-906+2+5=15\) | 15.47 | |||||||||
Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal \(15\) enkel met operatoren \(+,-,*,/,()\) | 15.48 | |||||||||
Som Der Cijfers (\(sdc\)) van \(k^{\large{15}}\) is gelijk aan het grondtal \(k\). De triviale oplossingen \(0\) en \(1\) negerend vinden we : \(\qquad\qquad~sdc\left(107^{\large{15}}\right)=107\qquad\qquad~sdc\left(134^{\large{15}}\right)=134\qquad\qquad~sdc\left(136^{\large{15}}\right)=136\) \(\qquad\qquad~sdc\left(152^{\large{15}}\right)=152\qquad\qquad~sdc\left(154^{\large{15}}\right)=154\qquad\qquad~sdc\left(172^{\large{15}}\right)=172\) \(\qquad\qquad~sdc\left(199^{\large{15}}\right)=199\) | 15.49 | |||||||||
| \(15\) is het aantal partities van \(7~~\) (OEIS A000041) Pari/GP code : numbpart(7) | 15.50 | |||||||||
Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van \(1\) tot \(9~~\) (met o.a. dank aan Inder. J. Taneja). | 15.51 | |||||||||
Met de cijfers van \(1\) tot \(9\) in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) : | 15.52 | |||||||||
Expressie van \(n\) enkel gebruik makend van faculteiten, vierkantswortels en afrondingen. In Pari/GP code : \(15~=~\)prod(i=1,ceil(sqrt(ceil(sqrt(15))!))/2,2*i+1) \(\qquad\qquad15={\huge\lceil}\sqrt{{\Large\lceil}\sqrt{15}\,{\Large\rceil}!}\;{\huge\rceil}!!\) | 15.53 | |||||||||
\(15\) is de magische constante van het eenvoudigste magische vierkant. Zie ook bij
| 15.54 | |||||||||
Het omgekeerde van \(8^{15}\) is een priemgetal \(\to{23888027348153}\) Pari/GP code : isprime(fromdigits(Vecrev(digits(8^15))))\(\to1\) | 15.55 | |||||||||
| Het kleinste getal dat exact \(15\) delers heeft is \(144=2^4*3^2\). (OEIS A005179) | 15.56 |
| Schakelaar \(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\) “Allemaal Getallen” |
|---|
| \(15\) | \(3*5\) | \(4\) | \(24\) |
| \(1,3,5,15\) | |||
| \(1111_2\) | \(17_8\) | \(\)F\(_{16}\) | |
| \(D(5)=15\) | |||
| Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email) Laatste update 23 april 2025 |