$14=2+3+4+5$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$14=6+8$ (som van opeenvolgende pare getallen)

$14\mathbf{=}{1}^2+2^2+3^2\mathbf{=}1+4+9$ (som van opeenvolgende kwadraten)

$14\mathbf{=}(0;1;2;3)➋\to \{\mathrm{\#}1\}$

$14\mathbf{=}{1}^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+2^3\mathbf{=}(0;0;1;1;1;1;1;1;2)➌\to \{\mathrm{\#}1\}$

$14\mathbf{=}{2}^1+2^2+2^3\mathbf{=}{2}^4-2^1\mathbf{=}{3}^2+4^2+5^2-6^2\mathbf{=}{5}^2+5^2-6^2\mathbf{=}{4}^2+5^2+{13}^2-{14}^2$

$14\mathbf{=}1+1+1+1+1+2+7\mathbf{=}1\ast 1\ast 1\ast 1\ast 1\ast 2\ast 7$

$14\mathbf{=}1+5+8\mathbf{=}2+2+10$ en ook $1\ast 5\ast 8\mathbf{=}2\ast 2\ast 10\mathbf{=}40$

$14=1\ast 2+3\ast 4$

$14\mathbf{=}(x^m+y^n$ heeft geen oplossing met limieten grondtal $9999$ en exponent $19$ )

$14\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$$References Sum of Three Cubes

$$Getallen van de vorm $9m+4$ of $9m+5$ kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

$$In dit geval is $m=1(+5)$.

$14\mathbf{=}$(som van vier derdemachten)

$(z>1000)$

$14=$ (som van vijf vijfdemachten)

$2^5+(-7{)}^5+(-13{)}^5+(-13{)}^5+{15}^5\mathbf{=}$

$1^n+1^n+{13}^5+{16}^5+(-17{)}^5(n=5)\mathbf{=}$

$8^5+(-13{)}^5+{20}^5+{27}^5+(-28{)}^5\mathbf{=}(z>200)\to$Noteer dat$8-13+20+27-28\mathbf{=}14$

$14\ast 2=28$ leest van rechts naar links ook correct : $82=2\ast 41$

$14\mathbf{=}42/3\mathbf{=}4\ast 3+2$ (zelfde cijfers)

${14}^2\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $196$

${14}^3\mathbf{=}{7}^3+[7^4][{49}^2]\mathbf{=}{63}^2-{35}^2\mathbf{=}{105}^2-{91}^2\mathbf{=}{345}^2-{341}^2\mathbf{=}{588}^2-{70}^3\mathbf{=}{687}^2-{685}^2$

${14}^2\mathbf{=}{4}^2+6^2+{12}^2\mathbf{=}{10}^2+{11}^2+{12}^2-{13}^2$

${14}^2=196$ wordt met dezelfde cijfers als ${13}^2$ en ${31}^2$ geschreven (zie bij 13.10 )

Er zijn evenveel samengestelde getallen als priemgetallen die kleiner zijn dan $14$ :
Er zijn $6$ priemgetallen ($2;3;5;7;11$ en $13$) en $6$ samengestelde getallen ($4;6;8;9;10$ en $12$).
$1$ wordt niet meegerekend; het is noch een priemgetal, noch een samengesteld getal.

$Opgave$
Er staan een aantal personen op een rij, meer dan $10$ en minder dan $30$. Ieder draagt een
bordje met een volgnummer en ze staan netjes geschikt van $1,2,3,\dots$ tot de laatste. Eén persoon merkt
op dat de som van de bordjes aan zijn linkerkant, inclusief zijn bordje, precies gelijk is aan de som van
de bordjes aan zijn rechterkant (maar dan zonder zijn bordje). Welk nummer draagt die persoon en
hoeveel personen staan in de rij ?
$Oplossing$
De persoon draagt het nummer $14$. In de rij staan $20$ personen.
Er geldt : $1+2+3+\cdots +13+14=15+16+\cdots +19+20=105$.
Een variante wordt besproken bij 6.30 en bij 35.15
Zie ook bij 21.19 en voor een meer uitgebreide analyse : Huizen op een Rij uit het gedeelte “Puzzelen met Getallen”.
(OEIS A053141) Zie ook bij 84.19

$$2oddprimes[\begin{array}{cccc}& 3& +& 11\\ \\ & 7& +& 7\end{array}$$

$$3primes[\begin{array}{c}\\ & \mathbf{2}& +& \mathbf{5}& +& \mathbf{7}\\ \end{array}$$

Er is een getal van veertien cijfers dat gelijk is aan de som van de $veertiende$ macht van zijn cijfers :

$28116440335967=2$${}^{14}$$+8$${}^{14}$$+1$${}^{14}$$+1$${}^{14}$$+6$${}^{14}$$+4$${}^{14}$$+4$${}^{14}$$+0$${}^{14}$$+3$${}^{14}$$+3$${}^{14}$$+5$${}^{14}$$+9$${}^{14}$$+6$${}^{14}$$+7$${}^{14}$

(OEIS A005188)

$14!-1$ is een priemgetal $(=87178291199)$, de zesde in zijn soort $(k!-1)$ (OEIS A002982)

Alle getallen van $1$ tot $14$ worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheid

van producten van machten. Verdeelsleutel $[1-6]$ levert geen oplossingen. Wel voor $[2-5]$ en $[3-4]$

en daar zijn vele andere combinaties mogelijk. Verdeelsleutel $[2-5]$ levert $62$ zuivere oplossingen en

verdeelsleutel $[3-4]$ levert netto zelfs $313$ oplossingen. $$\begin{array}{rl}{4}^{11}\ast {12}^{14}& \mathbf{=}{2}^{13}\ast 3^5\ast 6^7\ast 8^{10}\ast 9^1\\ 2^1\ast 6^{14}\ast {12}^{13}& \mathbf{=}{3}^5\ast 4^{10}\ast 8^7\ast 9^{11}\end{array}$$

Voor $n=14$ geldt $\sigma (n)=\sigma (n+1)\to \sigma (14)=\sigma (15)=24(\sigma$ of  'sigma' staat voor som der delers)

$14$ is de eerste oplossing uit (OEIS A002961)

Voor $n=14$ geldt $\sigma (n)=\sigma (n+9)\to \sigma (14)=\sigma (23)=24(\sigma$ of  'sigma' staat voor som der delers)

$14$ is de eerste oplossing uit (OEIS A015877)

Som der reciproken van partitiegetallen van $14$ levert nooit $1$ op.

Bijgevolg ook geen partities met unieke termen.

(OEIS A028229) (OEIS A125726)

Er zijn $14$ verschillende combinaties van vier getallen zodat de som van hun reciproken gelijk is aan $1$. Zes ervan
gebruiken vier unieke termen en acht ervan hebben minstens één herhaling van eenzelfde term. (Wikipedia)

$16=4+4+4+4$ en $1=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$

$17=3+4+4+6$ en $1=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}$

$18=3+3+6+6$ en $1=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$

$20=2+6+6+6$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$

$22=2+4+8+8$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}$

$22=2+5+5+10$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}$

$22=3+3+4+12$ en $1=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}$

$24=2+4+6+12$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}$

$29=2+3+12+12$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}$

$30=2+3+10+15$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}$

$31=2+4+5+20$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{20}$

$32=2+3+9+18$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{18}$

$37=2+3+8+24$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{24}$

$54=2+3+7+42$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{42}$

$2$${}^{14}$$-3$ is een priemgetal $(=16381)$, de achtste in zijn soort $(2^k-3)$ (OEIS A050414)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{14}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left({91}^{14}\right)=91sdc\left({118}^{14}\right)=118sdc\left({127}^{14}\right)=127$

$sdc\left({135}^{14}\right)=135(sdc\left({154}^{14}\right)=154$

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $14$ enkel met operatoren $+,-,\ast ,/,()$
$14=4\ast 4-1-1$

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$14=11+1+1+1$
$14=2^{(2+2)}-2$
$14=3+33/3$
$14=4+(44-4)/4$
$14=5+5+5-5/5$
$14=6+6+(6+6)/6$
$14=7+7$
$14=8+8-(8+8)/8$
$14=9+(99-9)/(9+9)$

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$14=12-3-45+67-8-9$
$14=98+7-6-54-32+1$

$14$ is een KEITH getal. Dit is een sequentie uitrol die lijkt op de Fibonacci iteratie. Evenwel begint een Keith reeks
met onze getalcijfers $1,4$ en elke volgende term is de som van de twee laatste getallen. Waarom twee ? Omdat dat
de cijferlengte is van ons begingetal $14$. We steken van wal met $1+4=5$. Hierna hebben we $4+5=9$
gevolgd door $5+9=14$ en hier komen we weer uit bij ons begingetal.
Zo is geïllustreerd dat $14$ een Keith-getal is. (OEIS A007629) (Wikipedia)

Expressie van $n$ enkel gebruik makend van faculteiten, vierkantswortels en afrondingen.

In Pari/GP code : $14=$floor(sqrt(sqrt((prod(i=1,ceil(sqrt(14))/2,i=2*i))!)))

$14=\lfloor \sqrt{\sqrt{(\lceil \sqrt{14}\rceil !!)!}}\rfloor$

Twee machten van $14$ geven tesamen al de cijfers van $1$ tot $9$
${14}^2=196$
${14}^5=537824$

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$