$13=6+7$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$13=5+8$ (som van twee opeenvolgende Fibonaccigetallen en daardoor zelf een getal van dat type)

$13\mathbf{=}{2}^2+3^2\mathbf{=}4+9$ (som van opeenvolgende kwadraten)

$13=1+(1+3)\ast 3$

$13=52/4$ (cijfers van $1$ tot $5$)

$13=(4!+2!)/2!$

$13-(1+3)=3^2$ en $13+(1\ast 3)=4^2$

$13\mathbf{=}{1}^2+2^2+2^2+2^2\mathbf{=}((0;0;2;3)(1;2;2;2))➋\to \{\mathrm{\#}2\}$

$13=3^0+3^1+3^2$

$13=(3^3-1^3)/2$

$13=1^2+1^2+1^2+1^2+3^2$

$13\mathbf{=}{1}^3+1^3+1^3+1^3+1^3+2^3\mathbf{=}(0;0;0;1;1;1;1;1;2)➌\to \{\mathrm{\#}1\}$

$13\mathbf{=}{2}^2+3^2\mathbf{=}[2^8][4^4][{16}^2]-3^5\mathbf{=}{7}^2-6^2\mathbf{=}{17}^3-{70}^2$

$13\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$$References Sum of Three Cubes

$$Getallen van de vorm $9m+4$ of $9m+5$ kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

$$In dit geval is $m=1(+4)$.

$13\mathbf{=}$(som van vier derdemachten)

$(z>1000)$

$13\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$0^n+1^m+{13}^5+{16}^5+(-17{)}^5(n>0)(n=5,m=5)\mathbf{=}$(als niet van deze vorm dan $z>200$)

${39}^5+(-481{)}^5+{487}^5+{636}^5+(-638{)}^5$

${13}^2=5^2+{12}^2$ ($13$ is de schuine zijde (hypotenusa) van een driehoek van Pythagoras). Als men in deze betrekking $5^2$

$$vervangt door $3^2+4^2$ dan komt er ${13}^2=3^2+4^2+{12}^2$ (zie ook bij 5.17 )

${13}^3\mathbf{=}{1}^3+5^3+7^3+{12}^3$

${13}^4={119}^2+{120}^2$ (twee opeenvolgende getallen net zoals bij $13=2^2+3^2)$

${13}^2\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $169$.

${13}^3\mathbf{=}[3^4][9^2]+{46}^2\mathbf{=}{26}^2+{39}^2\mathbf{=}{91}^2-{78}^2\mathbf{=}{1099}^2-{1098}^2$

$$2primes[\begin{array}{c}\\ & 2& +& 11\\ \end{array}$$

$$3oddprimes[\begin{array}{cccccc}& 3& +& 3& +& 7\\ \\ & 3& +& 5& +& 5\end{array}$$

De volgende producten zijn symmetrisch ten opzichte van het gelijkheidsteken :

$$\begin{array}{rl}13\ast 62& =26\ast 31\to 806\\ 13\ast 93& =39\ast 31\to 1209\end{array}$$

Het getal $76923$ heeft dan ook bij vermenigvuldiging met veelvouden van $13$ een mooi patroon :
$$\begin{array}{rl}13\ast 76923& =0999999\\ 26\ast 76923& =1999998\\ 39\ast 76923& =2999997\\ 52\ast 76923& =3999996\\ \cdots & =\cdots \\ 130\ast 76923& =9999990\end{array}$$

Hier heeft men met bepaalde veelvouden van $76923$ een cyclische verwisseling der cijfers :
$$\begin{array}{rl}76923\ast 1& =076923\\ 76923\ast 10& =769230\\ 76923\ast 9& =692307\\ 76923\ast 12& =923076\\ 76923\ast 3& =230769\\ 76923\ast 4& =307692\end{array}$$

Met andere vermenigvuldigers krijgt men een soortgelijk patroon maar met andere getallen :
$$\begin{array}{rl}76923\ast 2& =153846\\ 76923\ast 7& =538461\\ 76923\ast 5& =384615\\ 76923\ast 11& =846153\\ 76923\ast 6& =461538\\ 76923\ast 8& =615384\end{array}$$

Een getalpiramide
$$\begin{array}{rl}{13}^2& =169\\ {133}^2& =17689\\ {1333}^2& =1776889\\ {13333}^2& =177768889\\ {133333}^2& =17777688889\\ {1333333}^2& =1777776888889\end{array}$$

De som van alle priemgetallen tot en met $13$ ($=2+3+5+7+11+13$) is $41$ en dat is het $13$de priemgetal.
De som van de eerste $13$ priemgetallen is $238$ en $2+3+8=13$.
$13$ is een Fibonaccigetal $F(7)$ dat eveneens een priemgetal is, de vierde in zijn soort. (OEIS A005478)

Het werk “Elementen” van de Griekse wiskundige EUCLIDES (dat aan de basis ligt van onze meetkunde)
bestond uit $13$ “boeken”.

$Opgave$
Maak $13$ met behulp van de cijfers $1,2,3$ en $4$ door elk cijfer één maal te gebruiken met de nodige bewerkingen.
$Oplossing$
Er zijn verschillende mogelijkheden, bvb.
$34-21=4^2-1\ast 3=3!+1+2+4=2\ast 3!+\sqrt{4}-1=1\ast (3^2+4)=2\ast (3+4)-1=$
$12+4-3=(4!+3-1)/2=13+\sqrt{4}-2=1+(3!\ast 4)/2=3+(4+1)\ast 2$

De eerste keer dat er $13$ opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen $113$ en $127$
met aldus een priemkloof van $14.$ (OEIS A000101.pdf)

$13$ is een geluksgetal (Eng. Lucky number). Hoe bekomen we een geluksgetal ? Wel we beginnen met de reeks van de

natuurlijke getallen. Hieruit wordt elk tweede getal verwijdert en rest er $1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,\dots$ Het

tweede getal uit deze reeks is $3$, dus nu gaan we elk derde getal verwijderen en rest er $1,3,7,9,13,15,19,21,\dots$. Het

volgende getal dat we behouden is $7$, dus nu gaan we elk zevende getal verwijderen en rest er $1,3,7,9,13,15,21,\dots$

Het volgende getal dat we behouden na $1,3$ en $7$ is $9$, dus verwijderen we elk negende getal, enzovoort. De getallen die

we behouden hebben zijn nu onze geluksgetallen namelijk $1,3,7,9,13,15,21,25,\dots$ (OEIS A000959)

$2$${}^{13}$$-13$ is een priemgetal, de vierde in zijn soort. (OEIS A048744)

$F(13)=233$is een Fibonacci priemgetal, de vierde in zijn soort.
(OEIS A005478) (OEIS A001605)

$13$ is het aantal snijpunten gemaakt door de diagonalen binnen in een reguliere zeshoek.

(OEIS A006561)

Drie vlakken kunnen een donut (torus) versnijden tot maximaal $13$ onderdelen.

De volgende formule levert getallen die deelbaar zijn door $13$

${12}^n-{11}^n+{10}^n-9^n+\cdots +4^n-3^n+2^n-1^n$

maar enkel op voorwaarde dat het even machten zijn.

Meer algemeen kunnen we stellen dat onderstaande algemene formule getallen levert die deelbaar zijn door

een oneven getal $d$ en als $n$ even is :

$(d-1{)}^n-(d-2{)}^n+(d-3{)}^n-(d-4{)}^n+\cdots +(4{)}^n-(3{)}^n+(2{)}^n-(1{)}^n$

$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2$

(OEIS A053612)

Primoriaal van $13$ min $1$ is een priemgetal.

$2\ast 3\ast 5\ast 7\ast 11\ast 13-1=30029$

(Wikipedia) (OEIS A006794)

$\begin{array}{r}13\mathbf{=}{\left(\frac{2}{3}\right)}^3+{\left(\frac{7}{3}\right)}^3\end{array}$

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

$(x^3+y^3)/z^3=n\to$ [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen $\to$ [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

Som der reciproken van partitiegetallen van $13$ levert nooit $1$ op.

Bijgevolg ook geen partities met unieke termen.

(OEIS A028229) (OEIS A125726)

$2$${}^{13}$$=8192$

De som van de pare cijfers is gelijk aan de som van de onpare cijfers namelijk $10$.

Pari/GP code : (verander $!=$ naar $==$ voor het andere pare geval)

s=0; d=digits(2^13); for(i=1,#d,if(denominator(d[i]/2)$!=$1,s+=d[i])); print(s)

De exponenten van $2$ waarvoor deze eigenschap opgaat is de sequentie $13,43,47,51,126,194,386,\dots$

Een volgende macht is groter dan $100000$.

$13\ast (4\ast 13)=13\ast 52$ en $13$ is een deler van de aaneenschakeling $1352\to 2^3\ast {13}^2$

$13$ heeft een priem aantal partities, namelijk $(101)$ (OEIS A046063) (OEIS A049575)

 ○–○–○ 

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $13$ enkel met operatoren $+,-,\ast ,/,()$
$13=(1+3)\ast 3+1$

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{13}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left({20}^{13}\right)=20sdc\left({40}^{13}\right)=40sdc\left({86}^{13}\right)=86$

$sdc\left({103}^{13}\right)=103sdc\left({104}^{13}\right)=104sdc\left({106}^{13}\right)=106$

$sdc\left({107}^{13}\right)=107sdc\left({126}^{13}\right)=126sdc\left({134}^{13}\right)=134$

$sdc\left({135}^{13}\right)=135sdc\left({146}^{13}\right)=146$

$13+14+15+16+17+18+\cdots +48+49+50+51+52+53=13$^^$53=1353$
(OEIS A186074)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$13=11+1+1$
$13=2+22/2$
$13=3+3\ast 3+3/3$
$13=4+4+4+4/4$
$13=(55+5+5)/5$
$13=6+6+6/6$
$13=7+7-7/7$
$13=(88+8+8)/8$
$13=(9+99+9)/9$