\(13=6+7\) (som van opeenvolgende gehele getallen)

\(13=5+8\) (som van twee opeenvolgende Fibonaccigetallen en daardoor zelf een getal van dat type)

\(13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+9\) (som van opeenvolgende kwadraten)

\(13=1+(1+3)*3\)

\(13=52/4\) (cijfers van \(1\) tot \(5\))

\(13=(4!+2!)/2!\)

\(13-(1+3)=3^2~~\) en \(~~13+(1*3)=4^2\)

\(13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+2^2+2^2+2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;2;3)\,(1;2;2;2))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#2\}\)

\(13=3^0+3^1+3^2\)

\(13=(3^3-1^3)/2\)

\(13=1^2+1^2+1^2+1^2+3^2\)

\(13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(0;0;0;1;1;1;1;1;2)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}\)

\(13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^8][4^4][16^2]-3^5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{7^2-6^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}17^3-70^2\)

13.1

\(13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\;\,\)Getallen van de vorm \(~9m+4~\) of \(~9m+5~\) kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

\(\qquad\;\,\)In dit geval is \(m=1~~(+4)\).

\(13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vier derdemachten)

\(\qquad\;\,(z\gt1000)\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{1^3+7^3+10^3+(-11)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-2)^3+(-11)^3+(-14)^3+16^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-8)^3+16^3+34^3+(-35)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-35)^3+52^3+52^3+(-62)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-11)^3+(-44)^3+(-56)^3+64^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-2)^3+28^3+85^3+(-86)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{49^3+67^3+76^3+(-95)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-65)^3+82^3+91^3+(-101)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-2)^3+49^3+97^3+(-101)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-5)^3+(-77)^3+(-86)^3+103^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{73^3+70^3+79^3+(-107)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-38)^3+(-50)^3+(-107)^3+112^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-32)^3+(-53)^3+(-173)^3+175^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{55^3+(-119)^3+(-164)^3+181^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{64^3+(-77)^3+(-179)^3+181^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-23)^3+49^3+187^3+(-188)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-26)^3+52^3+202^3+(-203)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{7^3+97^3+205^3+(-212)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{31^3+(-131)^3+(-200)^3+217^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{67^3+(-158)^3+(-203)^3+229^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-35)^3+178^3+244^3+(-272)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-8)^3+(-77)^3+(-275)^3+277^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{166^3+(-218)^3+(-278)^3+301^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-179)^3+190^3+304^3+(-308)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-110)^3+118^3+322^3+(-323)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{7^3+181^3+313^3+(-332)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-11)^3+112^3+340^3+(-344)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-128)^3+(-203)^3+(-314)^3+346^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{196^3+(-248)^3+(-323)^3+346^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-68)^3+181^3+334^3+(-350)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-56)^3+(-191)^3+(-335)^3+355^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{115^3+181^3+352^3+(-371)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-140)^3+253^3+346^3+(-380)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-11)^3+196^3+388^3+(-404)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{106^3+262^3+397^3+(-434)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{7^3+(-272)^3+(-401)^3+439^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-251)^3+292^3+427^3+(-443)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-2)^3+(-287)^3+(-401)^3+445^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{349^3+(-389)^3+(-419)^3+448^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{241^3+(-257)^3+(-443)^3+448^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-227)^3+(-329)^3+(-359)^3+454^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-77)^3+103^3+460^3+(-461)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{70^3+(-179)^3+(-470)^3+478^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-137)^3+(-371)^3+(-422)^3+505^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{19^3+175^3+502^3+(-509)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-11)^3+232^3+502^3+(-518)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{118^3+(-392)^3+(-443)^3+526^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-11)^3+(-425)^3+(-452)^3+553^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-107)^3+(-290)^3+(-560)^3+586^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-218)^3+(-389)^3+(-521)^3+595^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-266)^3+412^3+565^3+(-614)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{442^3+325^3+490^3+(-620)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{181^3+178^3+616^3+(-626)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-71)^3+322^3+613^3+(-641)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-350)^3+550^3+580^3+(-683)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{376^3+(-563)^3+(-581)^3+685^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-260)^3+(-308)^3+(-650)^3+685^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{10^3+(-290)^3+(-683)^3+700^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{223^3+520^3+637^3+(-743)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{43^3+328^3+721^3+(-743)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-206)^3+(-443)^3+(-686)^3+748^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-194)^3+241^3+745^3+(-749)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-29)^3+427^3+703^3+(-752)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-26)^3+517^3+679^3+(-767)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{4^3+(-602)^3+(-659)^3+796^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-476)^3+517^3+787^3+(-803)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{133^3+(-470)^3+(-749)^3+805^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-23)^3+511^3+781^3+(-848)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{85^3+(-596)^3+(-770)^3+874^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-371)^3+(-656)^3+(-722)^3+892^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{178^3+(-392)^3+(-878)^3+901^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{76^3+(-275)^3+(-917)^3+925^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{532^3+(-680)^3+(-884)^3+949^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{136^3+(-587)^3+(-872)^3+952^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-224)^3+(-389)^3+(-935)^3+961^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{538^3+709^3+784^3+(-998)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-506)^3+682^3+982^3+(-1043)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-293)^3+(-743)^3+(-935)^3+1078^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-77)^3+(-830)^3+(-893)^3+1087^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{(-320)^3+(-821)^3+(-905)^3+1099^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px green solid]{688^3+(-875)^3+(-998)^3+1102^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\;\,(z\gt1000)\)

\(13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{0^n+1^m+13^5+16^5+(-17)^5}~~(n\gt0)~~(n=5,m=5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(als niet van deze vorm dan \(z\gt200\))

\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{39^5+(-481)^5+487^5+636^5+(-638)^5}\)

13.2

\(13^2=5^2+12^2~~\) (\(13\) is de schuine zijde (hypotenusa) van een driehoek van Pythagoras). Als men in deze betrekking \(5^2\)

\(\qquad\;\;\,\)vervangt door \(3^2+4^2\) dan komt er \(13^2=3^2+4^2+12^2\) (zie ook bij )

\(13^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+5^3+7^3+12^3\)

\(13^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2197\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(-2-1+9+7)^3\)

\(13^4=119^2+120^2\)

13.3

\(13^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(169\).

\(13^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[3^4][9^2]+46^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}26^2+39^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{91^2-78^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1099^2-1098^2\)

13.4
\(13+16=17+12~~\) en ook \(~~13^5+16^5=17^5+12\) (nee, bij de meest rechtse \(12\) ontbreekt niet de vijfde macht) 13.5
\(13=\sqrt{169}=16-\sqrt9=\sqrt{16}+9\) 13.6
Een opvallende relatie tussen \(13\) en \(16\) :
\(\underline{13}^2=169~~\) en \(~~1+6+9=\mathbf{16}\quad\to\quad\mathbf{16}^2=256~~\) en \(~~2+5+6=\underline{13}\).
Zie bij 		13.7
\(13\) als som van twee priemgetallen kan slechts op één wijze :

$$ 2~primes \left[ \begin{matrix} \\ &2&+&11\\ \\ \end{matrix} \right. $$

\(13\) als som van drie priemgetallen (bovendien zijn alle getallen oneven) :

$$ 3~odd~primes \left[ \begin{matrix} &3&+&3&+&7\\ \\ &3&+&5&+&5 \end{matrix} \right. $$

13.8
Naast de \(5\) Platonische veelvlakken zijn er \(13\) Archimedische (halfregelmatige) veelvlakken. Ze bestaan
uit meerdere soorten regelmatige veelhoeken. Zo bestaat de afgeknotte tetraëder uit \(4\) driehoeken en \(4\) zeshoeken
en de kleine rombische icosidodecaëder uit \(20\) driehoeken, \(30\) vierkanten en \(12\) vijfhoeken.
Uit de veelvlakken van ARCHIMEDES kan men (door wat men een duale transformatie noemt) ook \(13\) andere
veelvlakken afleiden, de veelvlakken van CATALAN. 		13.9
\(13^2=169\) en het omgekeerde is ook waar : \(31^2=961\)
Merkwaardig is dat \(14^2=196\) het derde kwadraat is dat met dezelfde cijfers wordt geschreven. 		13.10

De volgende producten zijn symmetrisch ten opzichte van het gelijkheidsteken :

\begin{align} 13*62&=26*31\to806\\ 13*93&=39*31\to1209 \end{align}

13.11
\(13*6=78\) is de enige vermenigvuldiging van de vorm \(AB*C=DE\) met cijfers in stijgende volgorde. 13.12
Een zescijferig getal van de vorm \(\small{\text{ABCABC}}\) (tautonymisch getal) is steeds deelbaar door \(13\)
(zie voor meer details bij ) : bvb. \(269269/13=20713\) 		13.13
Als \(A\) en \(B\) niet deelbaar zijn door \(13\), dan is \(A^{12}-B^{12}\) deelbaar door \(13\). 13.14
Als men de som maakt van \(1^a+2^a+3^a+4^a+5^a+6^a\) waarbij \(a\) een even getal is dat zelf geen veelvoud van \(4\) is,
(dus \(a\) is van de vorm \(4n+2\)), dan is die som deelbaar door \(13\).
Een voorbeeld met \(n=0,a=2~~\to~~1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2=1+4+9+16+25+36=91=13*7\) 		13.15
\(13\) is het enige getal dat evenals zijn vierde macht gelijk is aan de som van twee opeenvolgende
kwadraten : \(13=2^2+3^2\) en ook \(13^4=119^2+120^2\) 		13.16
Mooi is het (Engelse) anagram \(\small{\text{TWELVE}~~\text{PLUS}~~\text{ONE}~~=~~\text{ELEVEN}~~\text{PLUS}~~\text{TWO}}\) waarin aan beide zijden
van het gelijkheidsteken dezelfde \(13\) letters worden gebruikt. Zie ook bij 		13.17
Men heeft van het getal \( {\large\pi}\) \(13\) decimalen nodig na de komma om alle cijfers van \(1\) tot \(9\) ten minste één maal te hebben
\(({\large\pi} = 3,\underline{14}1\underline{5926}5\underline{3}5\underline{8}9\underline{7}\ldots)\). Zie ook bij . 		13.18
\(13\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(3\) oplossingen)
\(67392/5184=81549/6273=94653/7281=13\)
\(13\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(1\) oplossing)
\(103428/7956=13\) 		13.19
De breuk \({\Large\frac{1}{13}} = 0,\overline{076923}\;\overline{076923}\;\overline{076\ldots}~~\) (aanduiding van het herhalende deel gebeurt hier met een vinculum).
Het getal \(76923\) heeft dan ook bij vermenigvuldiging met veelvouden van \(13\) een mooi patroon :
\begin{align} 13*76923&=0999999\\ 26*76923&=1999998\\ 39*76923&=2999997\\ 52*76923&=3999996\\ \cdots&=\cdots\\ 130*76923&=9999990 \end{align}
Hier heeft men met bepaalde veelvouden van \(76923\) een cyclische verwisseling der cijfers :
\begin{align} 76923*1&=076923\\ 76923*10&=769230\\ 76923*9&=692307\\ 76923*12&=923076\\ 76923*3&=230769\\ 76923*4&=307692 \end{align}
Met andere vermenigvuldigers krijgt men een soortgelijk patroon maar met andere getallen :
\begin{align} 76923*2&=153846\\ 76923*7&=538461\\ 76923*5&=384615\\ 76923*11&=846153\\ 76923*6&=461538\\ 76923*8&=615384 \end{align} 		13.20
\(13\) is een primeval getal : met de cijfers \(1\) en \(3\) kan men de priemgetallen \(3,13\) en \(31\) maken.
Het volgende primeval getal is \(37\) (OEIS A072857). Zie bij . 		13.21
\(13\) is een priemgetal, en het blijft ook een priemgetal als men rechts cijfers toevoegt :
\begin{align} &13\mathbf9\\ &139\mathbf9\\ &1399\mathbf9\\ &13999\mathbf1\\ &139991\mathbf3\\ &1399913\mathbf3\\ \end{align} zijn allemaal priemgetallen. Jammer genoeg houdt het hier op : ongeacht het cijfer dat men rechts
toevoegt aan \(13999133\) krijgt men steeds een samengesteld getal.
Zet men de toegevoegde cijfers op een rij zowel van boven naar onder als van onder naar boven
dan verkrijgt men ook een priemgetal : \(999133\) en \(331999\) 		13.22
Met de cijfers \(1\) en \(3\) kan men \(\underline{8}\) verschillende getallen van \(3\) cijfers maken. De som van die acht getallen
\(\underline{111}+113+131+133+311+313+331+333=1776\), en dit is precies het jaar van de Amerikaanse
Onafhankelijkheidsverklaring ! Ook is \(1776=\underline{4*4}*\underline{111}\) 		13.23
Er zijn twee rechthoekige driehoeken met gehele zijden en waarvan één zijde \(13\) is : \((5;12;13),(13;84;85)\) 13.24
\(13\) is gekend als het ongeluksgetal (alhoewel in sommige landen deze “eer” voor andere getallen is
voorbehouden (zie ), en dan vooral in combinatie met vrijdag.
In een jaar kunnen maximaal \(3\) maanden met vrijdag de dertiende voorkomen :
\(\bullet~~\) In een gewoon jaar, als \(1\) januari op een donderdag valt, dan is er een vrijdag de dertiende
\(\quad\;\)in de maanden februari, maart en november;
\(\bullet~~\) In een schrikkeljaar, als \(1\) januari op een zondag valt, dan is er een vrijdag de dertiende
\(\quad\;\)in de maanden januari, april en juli.
Als de eerste dag van de maand een zondag is, dan is de \(13\)° van die maand een vrijdag.
Voor alle jaren zonder onderscheid geldt dat als \(13\) april een vrijdag is, dit eveneens het geval is voor \(13\) juli;
als \(13\) september een vrijdag is, dan is ook \(13\) december een vrijdag.
Angst voor het getal \(13\) heet “triskadekafobie”; angst voor vrijdag de dertiende luistert naar de naam “paraskevidekatriafobie”.
Zie ook bij 		13.25
Een getalpiramide
\begin{align} 13^2&=169\\ 133^2&=17689\\ 1333^2&=1776889\\ 13333^2&=177768889\\ 133333^2&=17777688889\\ 1333333^2&=1777776888889 \end{align} 		13.26
In een eeuw zijn er \(13\) data die bestaan uit dezelfde cijfers (dag/maand/jaarcijfers) :
\(1/1/11;\quad11/1/11;\quad1/11/11;\quad11/11/11;\quad2/2/22;\quad22/2/22;\quad3/3/33;\quad4/4/44;\quad5/5/55;\quad6/6/66;\)
\(7/7/77;\quad8/8/88\quad\)en\(\quad9/9/99.\quad\) Dergelijke data zijn zeer geliefd bvb. als huwelijksdatum. 		13.27
  WETENSWAARD  

De som van alle priemgetallen tot en met \(13\) (\(=2+3+5+7+11+13\)) is \(41\) en dat is het \(13\)de priemgetal.
De som van de eerste \(13\) priemgetallen is \(238\) en \(2+3+8=13\).
\(13\) is Fibonaccigetal \(F(7)\) dat eveneens een priemgetal is.

13.28
  UIT DE OUDE DOOS  

Het werk “Elementen” van de Griekse wiskundige EUCLIDES (dat aan de basis ligt van onze meetkunde)
bestond uit \(13\) “boeken”.

13.29
  EEN PUZZEL  

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Maak \(13\) met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \(4\) door elk cijfer één maal te gebruiken met de nodige bewerkingen.
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
Er zijn verschillende mogelijkheden, bvb.
\(\quad34-21~~=~~4^2-1*3~~=~~3!+1+2+4~~=~~2*3!+\sqrt4-1~~=~~1*(3^2+4)~~=~~2*(3+4)-1=\)
\(\quad12+4-3~~=~~(4!+3-1)/2~~=~~13+\sqrt4-2~~=~~1+(3!*4)/2~~=~~3+(4+1)*2\)

13.30
Men moet \(13\) tot minimaal de \(619\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact \(13\) \(13\)'s verschijnen.
Noteer, voor wat het waard is, dat \(13\) en \(619\) priemgetallen zijn. Terloops : \(13\)\(^{619}\) heeft een lengte van \(690\) cijfers.
Zowel \(619\) als \(690\) zijn super-2 getallen d.w.z. \(2*n^2\) bevatten het getal \(22\) in hun decimale expansie :
\(2*619^2=7663{\color{blue}{22}}~~\) en \(~~2*690^2=95{\color{blue}{22}}00~~~~\)(OEIS A032743) 		13.31
\(13\) is één van drie gekende WILSON priemgetallen zodanig dat \((p-1)!~~\)≡\(~-1~(mod~p^2)\). Dit betekent
dat na de modulus operatie \(p=13;~Mod((p-1)!,p^2)\) het absolute verschil tussen de termen gelijk is aan \(1\).
Doe bvb. met pari/gp het commando \(p=13;~(p-1)!~\&~(p^2)\). Het antwoord luidt \(1\). Zo ook voor \(p=5\) en \(p=563\).
Zie bij en en (OEIS A007540) 		13.32

De eerste keer dat er \(13\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(113\) en \(127\)
met aldus een priemkloof van \(14\,.~~\) (OEIS A000101.pdf)

13.33

\(13\) is een geluksgetal (Eng. Lucky number). Hoe bekomen we een geluksgetal ? Wel we beginnen met de reeks van de

natuurlijke getallen. Hieruit wordt elk tweede getal verwijdert en rest er \(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,\ldots\) Het

tweede getal uit deze reeks is \(3\), dus nu gaan we elk derde getal verwijderen en rest er \(1,3,7,9,13,15,19,21,\ldots\). Het

volgende getal dat we behouden is \(7\), dus nu gaan we elk zevende getal verwijderen en rest er \(1,3,7,9,13,15,21,\ldots\)

Het volgende getal dat we behouden na \(1,3\) en \(7\) is \(9\), dus verwijderen we elk negende getal, enzovoort. De getallen die

we behouden hebben zijn nu onze geluksgetallen namelijk \(1,3,7,9,13,15,21,25,\ldots\) (OEIS A000959)

13.34

\(2\)\(^{13}\)\(\,-\,13~~\) is een priemgetal, de vierde in zijn soort. (OEIS A048744)

13.35

\(F(13)~=~233~~\)is een Fibonacci priemgetal. (OEIS A001605) (OEIS A005478)

13.36

\(13\) is het aantal snijpunten gemaakt door de diagonalen binnen in een reguliere zeshoek.

(OEIS A006561)

13.37

Drie vlakken kunnen een donut (torus) versnijden tot maximaal \(13\) onderdelen.

13.38

De volgende formule levert getallen die deelbaar zijn door \(13\)

\(\bbox[3px,border:1px solid]{12^n-11^n+10^n-9^n+\cdots+4^n-3^n+2^n-1^n}\)

maar enkel op voorwaarde dat het even machten zijn.

Meer algemeen kunnen we stellen dat onderstaande algemene formule getallen levert die deelbaar zijn door

een oneven getal \(d\) en als \(n\) even is :

\(\bbox[3px,border:1px solid]{(d-1)^n-(d-2)^n+(d-3)^n-(d-4)^n+\cdots+(4)^n-(3)^n+(2)^n-(1)^n}\)

13.39

\(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+{\color{blue}{13}}=91=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2\)

(OEIS A053612)

13.40

Primoriaal van \(13\) min \(1\) is een priemgetal.

\(2*3*5*7*11*{\color{blue}{13}}-1=30029\)

(Wikipedia) (OEIS A006794)

13.41

\(\begin{align}13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{2}{3}}\right)^3+\left({\frac{7}{3}}\right)^3\end{align}\)

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

13.42

Som der reciproken van partitiegetallen van \(13\) levert nooit \(1\) op.

Bijgevolg ook geen partities met unieke termen.

(OEIS A028229) (OEIS A125726)

13.43

\(2\)\(^{13}\)\(=8192\)

De som van de pare cijfers is gelijk aan de som van de onpare cijfers namelijk \(10\).

Pari/GP code : (verander \(!=\) naar \(==\) voor het andere pare geval)

s=0; d=digits(2^13); for(i=1,#d,if(denominator(d[i]/2)\({\color{red}{!=}}\)1,s+=d[i])); print(s)

De exponenten van \(2\) waarvoor deze eigenschap opgaat is de sequentie \(13,43,47,51,126,194,386,\ldots\)

Een volgende macht is groter dan \(100000\).

13.44

\(13*(4*13)=13*52\) is een deler van de aaneenschakeling \(1352\to 2*676\)

13.45
Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
“Allemaal Getallen”

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)

\(13\)\(13\)\(2\)\(14\)
\(1,13\)
Priemgetal\(1101_2\)\(\)D\(_{16}\)
 \(F(7)=13\) 

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 16 november 2024