$12=3+4+5$ (som van opeenvolgende gehele getallen). Opmerkelijk is dat het omgekeerde getal $21=6+7+8$

$$ook een som van opeenvolgende gehele getallen is.

$12=2+4+6$ (som van opeenvolgende pare getallen)

$12=5+7$ (som van opeenvolgende onpare getallen) (som van opeenvolgende priemgetallen)

$12=1+1+2+3+5$ (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

$12\mathbf{=}{2}^2+2^2+2^2\mathbf{=}{1}^2+1^2+1^2+3^2\mathbf{=}((0;2;2;2)(1;1;1;3))➋\to \{\mathrm{\#}2\}$

$12=1!\ast 2!\ast 3!$

$12=1^0+2^1+3^2$

$12\mathbf{=}{1}^3+1^3+1^3+1^3+2^3\mathbf{=}(0;0;0;0;1;1;1;1;2)➌\to \{\mathrm{\#}1\}$

$12=1^3\ast 2^2\ast 3^1$ (symmetrische uitdrukking : grondtal opgaand; exponent dalend)

$12\mathbf{=}3+3^2\mathbf{=}{4}^2-4$

$12\mathbf{=}{2}^2+2^3\mathbf{=}[2^4][4^2]-2^2\mathbf{=}{47}^2-{13}^3$

$12\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$2$ oplossingen bekend

$$References Sum of Three Cubes

$7^3+{10}^3+(-11{)}^3\mathbf{=}$

$(-5725013{)}^3+(-9019406{)}^3+{9730705}^3\mathbf{=}$

$12\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

${13}^5+{16}^5+(-17{)}^5+k^5+(-k{)}^5\mathbf{=}\to$Noteer dat$13+16-17+k-k\mathbf{=}12$

$3^5+4^5+6^5+6^5+(-7{)}^5\mathbf{=}\to$Noteer dat$3+4+6+6-7\mathbf{=}12$

${16}^5+(-35{)}^5+{95}^5+{138}^5+(-142{)}^5\mathbf{=}(z>200)$

$12=(1+2)+(1^3+2^3)$ ( Er zijn $6$ getallen met deze eigenschap : getal = som van de cijfers plus som van

$$ de derdemachten van de cijfers; die getallen zijn : $12,30,666,870,960$ en $1998$ ) (OEIS A065138)

$$2oddprimes[\begin{array}{c}\\ & 5& +& 7\\ \end{array}$$

$$3primes[\begin{array}{ccccccc}& & \mathbf{2}& +& \mathbf{3}& +& \mathbf{7}\\ \\ & 2& +& 5& +& 5\end{array}$$

$12$ is gelijk aan $4$ maal de som van zijn cijfers : $12=4\ast (1+2)$.

Andere getallen met deze eigenschap zijn veelvouden van $12$, namelijk $24,36$ en $48$ ( 24.3 36.6 48.3 )

Zie ook bij 4.4

$12=(5-1)\ast (5-2)$

$12=3\ast 4$ (dus een pronic getal) (vier opeenvolgende cijfers) (Fun With Num3ers)

$$Dit patroon doet zich enkel nog voor bij 56.1

$12=(6\ast 6\ast 6)/(6+6+6)$

$12!+34567$ is een priemgetal ($479036167$)

$12\mathbf{=}1+1+1+1+2+6\mathbf{=}1\ast 1\ast 1\ast 1\ast 2\ast 6$

$12\mathbf{=}1+1+1+1+1+3+4\mathbf{=}1\ast 1\ast 1\ast 1\ast 1\ast 3\ast 4$

$12$ is één van de $8$ getallen van $2$ verschillende cijfers dat gelijk is aan een ééncijferig veelvoud van

het cijfer van de eenheden : $12=6\ast 2$.

De andere getallen zie bij 15.12 24.19 25.17 35.5 36.7 45.9 48.7

${12}^2\mathbf{=}{10}^3-8^3-7^3-1^3\mathbf{=}{10}^3-9^3-7^3+6^3$.

${12}^2=1\ast 2\ast 3\ast 4\ast 6$ (de $5$ ontbreekt) = $6!/5$

${12}^2=144$ en het omgekeerde is ook waar : ${21}^2=441$

${12}^2+{33}^2=1233$. Zie ook bij 33.19

${12}^3=9^3+{10}^3-1^3$

${12}^3=6^3+8^3+{10}^3$ (derdemachten van opeenvolgende pare getallen)

${12}^2\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $144$

${12}^3\mathbf{=}{2}^7+{40}^2\mathbf{=}{42}^2-6^2\mathbf{=}{43}^2-{11}^2\mathbf{=}{48}^2-{24}^2\mathbf{=}{57}^2-{39}^2\mathbf{=}{62}^2-{46}^2\mathbf{=}{78}^2-{66}^2\mathbf{=}{112}^2-{104}^2\mathbf{=}$

${147}^2-{141}^2\mathbf{=}{218}^2-{214}^2\mathbf{=}{433}^2-{431}^2$

De volgende producten zijn symmetrisch ten opzichte van het gelijkheidsteken :

$$\begin{array}{rl}12\ast 42& =24\ast 21\to 504\\ 12\ast 63& =36\ast 21\to 736\\ 12\ast 84& =48\ast 21\to 1008\end{array}$$

$12\to 62\to$ $$\begin{array}{rl}{1}^1+5^1+6^1& =2^1+3^1+7^1\\ en& ookis\\ 1^2+5^2+6^2& =2^2+3^2+7^2\end{array}$$

Twee driehoeken met zijden $(5;5;6)$ en $(5;5;8)$ hebben beide als oppervlakte een waarde van $12$.

Driehoeken met gehele zijden en waarvan de oppervlakte een geheel getal is, heten driehoeken van HERON (of HERO).

(Formule van Heron)

$$\begin{array}{rl}3\ast 4& =12\\ 33\ast 34& =1122\\ 333\ast 334& =111222\\ 3333\ast 3334& =11112222\\ \cdots & =\cdots \end{array}$$

$$\begin{array}{rl}1\ast 9+2& =11\\ 12\ast 9+3& =111\\ 123\ast 9+4& =1111\\ 1234\ast 9+5& =11111\\ 12345\ast 9+6& =111111\\ 123456\ast 9+7& =1111111\\ 1234567\ast 9+8& =11111111\\ \cdots & =\cdots \end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{35}^2& =1225\\ {335}^2& =112225\\ {3335}^2& =11122225\\ {33335}^2& =1111222225\\ {333335}^2& =111112222225\\ {3333335}^2& =11111122222225\\ \cdots & =\cdots \end{array}$$

Het getal $12$ heeft $6$ delers : $1;2;3;4;6;12$. Het getal $6$ is een perfect getal. De som
van alle delers van $12$ is $28$ en dat is óók een perfect getal. Een getal zoals $12$ waarbij zowel aantal als
som van de delers een perfect getal is, heet een “subliem” getal. Er is nog één enkel subliem getal bekend.
Voor de anecdote, het is $2^{126}(2^{61}-1)(2^{31}-1)(2^{19}-1)(2^7-1)(2^5-1)(2^3-1)$ of, voluit geschreven :

Dit reuzengetal bestaat in feite uit een macht van $2$, vermenigvuldigd met een aantal MERSENNE-priemgetallen.
Net zoals $12$ dat kan geschreven worden als $2^2(2^2-1)$. Zie ook bij (OEIS A000043) en (OEIS A081357)

Met de cijfers $0,1$ en $2$ voor de grondtallen en de cijfers $0,1$ en $4$ voor de kwadraten
(waarbij $0=0^2,1=1^2$ en $4=2^2$, cfr de cijfers van de grondtallen) maakt men :
${12}^2=144⟺{21}^2=441;{102}^2=10404⟺{120}^2=14400;{201}^2=40401⟺{210}^2=44100$.

Als som met de vier operatoren $+-\ast /$
$12=(3+1)+(3-1)+(3\ast 1)+(3/1)$

$12!-1$ is een priemgetal $(=479001599)$, de vijfde in zijn soort $(k!-1)$ (OEIS A002982)

Alle getallen van $1$ tot $12$ worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheden

van producten van machten. Vele andere combinaties zijn mogelijk. Verdeelsleutel $[1-5]$ levert geen oplossingen.

Verdeelsleutel $[2-4]$ levert $61$ zuivere oplossingen. Verdeelsleutel $[3-3]$ heeft er netto $114$. $$\begin{array}{rl}{2}^{10}\ast {12}^{11}& \mathbf{=}{3}^1\ast 4^7\ast 8^6\ast 9^5\\ 2^{11}\ast 3^7\ast 4^{12}& \mathbf{=}{6}^5\ast 8^{10}\ast 9^1\end{array}$$

$12$ als som van zes getallen (op een cirkel geplaatst) die één voor één het product zijn van hun buurgetallen

$12=6+2+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}+3$

${10}^2+{11}^2+{12}^2={13}^2+{14}^2=$ 365.--

$\begin{array}{r}12\mathbf{=}{\left(\frac{19}{39}\right)}^3+{\left(\frac{89}{39}\right)}^3\end{array}$

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

$(x^3+y^3)/z^3=n\to$ [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen $\to$ [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

$2$${}^{12}$$+3$ is een priemgetal $(=4099)$, de zevende in zijn soort $(2^k+3)$ (OEIS A057732)

$2$${}^{12}$$-3$ is een priemgetal $(=4093)$, de zevende in zijn soort $(2^k-3)$ (OEIS A050414)

Som der reciproken van partitiegetallen van $12$ levert nooit $1$ op.

Bijgevolg ook geen partities met unieke termen.

(OEIS A028229) (OEIS A125726)

 ○–○–○ 

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $12$ enkel met operatoren $+,-,\ast ,/,(),$^^$$
$12=(1$^^$2)\ast (2-1)$

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{12}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left({108}^{12}\right)=108\to$ Unieke oplossing voor $k>1$. Noteer dat $108=12\ast (1+0+8)$

$12$ is een getal van de vorm $2$${}^k$$+k$${}^3$, de derde in zijn soort. Reken uit met de waarde $k=2$. (OEIS A097339)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$12=11+1$
$12=2\ast (2+2+2)$
$12=3+3\ast 3$
$12=4+4+4$
$12=(55+5)/5$
$12=6+6$
$12=(77+7)/7$
$12=(88+8)/8$
$12=(99+9)/9$

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$12=123+45-67-89$
$12=987-654-321$

Expressie van $n$ enkel gebruik makend van faculteiten, vierkantswortels en afrondingen.

In Pari/GP code : $12=$floor(sqrt(sqrt(sqrt(12!))))

$12=\lfloor \sqrt{\sqrt{\sqrt{12!}}}\rfloor$

$\frac{400}{33}=12,1212121212121212121212\dots$

$\frac{1}{{12}^2}=\frac{1}{{15}^2}+\frac{1}{{20}^2}$ (kleinste gehele getallen van de reciproke Pythagoras vergelijking)

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$