\(12=3+4+5\) (som van opeenvolgende gehele getallen). Opmerkelijk is dat het omgekeerde getal \(21=6+7+8\)
\(\qquad\;\,\)ook een som van opeenvolgende gehele getallen is.
\(12=2+4+6\) (som van opeenvolgende pare getallen)
\(12=5+7\) (som van opeenvolgende onpare getallen) (som van opeenvolgende priemgetallen)
\(12=1+1+2+3+5\) (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)
\(12\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+2^2+2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+1^2+1^2+3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;2;2;2)\,(1;1;1;3))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#2\}\)
\(12=1!+2!+3!\)
\(12=1^0+2^1+3^2\)
\(12\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(0;0;0;0;1;1;1;1;2)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}\)
\(12=1^3*2^2*3^1\) (symmetrische uitdrukking : grondtal opgaand; exponent dalend)
\(12\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^2-4\)
\(12\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^4][4^2]-2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}47^2-13^3\)
\(12\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)
\(\qquad\;\,2\) oplossingen bekend
\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes
\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{7^3+10^3+(-11)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)
\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px solid]{(-5725013)^3+(-9019406)^3+9730705^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)
\(12\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)
\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{13^5+16^5+(-17)^5+k^5+(-k)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to~~\)Noteer dat\(~~13+16-17+k-k\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12\)
\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{3^5+4^5+6^5+6^5+(-7)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to~~\)Noteer dat\(~~3+4+6+6-7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12\)
\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{16^5+(-35)^5+95^5+138^5+(-142)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\)
\(12=(1+2)+(1^3+2^3)\) ( Er zijn \(6\) getallen met deze eigenschap : getal = som van de cijfers plus som van
\(\qquad\,\) de derdemachten van de cijfers; die getallen zijn : \(12,30,666,870,960\) en \(1998\) ) (OEIS A065138)
Ook in de maten en gewichten komen er nog verwijzingen naar \(12\) voor : een dozijn, een gros \((144=12^2)\)
\(12\) is gelijk aan de som van \(3\) Fibonaccigetallen : \(12=1+3+8\)
$$ 2~odd~primes \left[ \begin{matrix} \\ &5&+&7\\ \\ \end{matrix} \right. $$
\(12\) als som van drie priemgetallen (die bij de bovenste som bovendien verschillend zijn) :$$ 3~primes \left[ \begin{matrix} &&\mathbf{2}&+&\mathbf{3}&+&\mathbf{7}\\ \\ &2&+&5&+&5 \end{matrix} \right. $$
\(12\) is gelijk aan \(4\) maal de som van zijn cijfers : \(12=4*(1+2)\).
Andere getallen met deze eigenschap zijn veelvouden van \(12\), namelijk \(24, 36\) en \(48~~\) ( )
Zie ook bij
\(12=(5-1)*(5-2)\)
\(12=3*4\) (dus een pronic getal) (vier opeenvolgende cijfers) (Fun With Num3ers)
\(\qquad\;\,\)Dit patroon doet zich enkel nog voor bij
\(12=(6*6*6)/(6+6+6)\)
\(12\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+1+1+1+2+6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1*1*1*1*2*6\)
\(12\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+1+1+1+1+3+4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1*1*1*1*1*3*4\)
\(5867+5869=11736=12*978\)
dat \(A\) (= het middelste getal van de drie) oneven is (men heeft dan het product van een even, een oneven
en nog een even getal). Bvb. met \(A=29\) komt er : \(28*29*30=24360=12*2030\)
\(12\) is één van de \(8\) getallen van \(2\) verschillende cijfers dat gelijk is aan een ééncijferig veelvoud van
het cijfer van de eenheden : \(12=6*2\).
De andere getallen zie bij
\(1728=12^3\). Soortgelijk patroon vindt men bij andere veelvouden van \(12\) die geen kwadraat zijn (uiteraard zal
de exponent hoger zijn dan \(3\); de exponent is immers gelijk aan de helft van het aantal delers)
Alle onpare machten van \(12\), verminderd met \(1\) , zijn deelbaar door \(11\) : bvb. \(12^3=1728\) en \(1727=11*157\)
De som van de cijfers van een willekeurige macht van \(12\) (met uitzondering van \(12^1\)) is een veelvoud van \(9\),
bvb. \(12^5=248832~~\) en \(~~2+4+8+8+3+2=27=9*3\)
\(12^2=1*2*3*4*6\) (de \(5\) ontbreekt) = \(6!/5\)
\(12^2=144\) en het omgekeerde is ook waar : \(21^2=441\)
\(12^2+33^2=1233\). Zie ook bij
\(12^3=6^3+8^3+10^3\) (derdemachten van opeenvolgende pare getallen)
\(12^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(144\)
\(12^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^7+40^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}42^2-6^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}43^2-11^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}48^2-24^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}57^2-39^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}62^2-46^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{78^2-66^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}112^2-104^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)
\(\qquad~~~147^2-141^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}218^2-214^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{433^2-431^2}\)
De volgende producten zijn symmetrisch ten opzichte van het gelijkheidsteken :
\begin{align} 12*42&=24*21\to504\\ 12*63&=36*21\to736\\ 12*84&=48*21\to1008 \end{align}
heeft men met \(36\;(63)\) en \(48\;(84)\).
\(\quad(4-3)*12~~=~~1*2*3*\sqrt4~~=~~4^2-3-1~~=~~3^2+1+4-2~~=~~(2-1)*3*4~~=~~\)
\(\quad2*(4+3-1)~~=~~2^4-1-3~~=~~(3*4)/(2-1)~~=~~4!/(3-2+1)\)
Zie ook bij
delers inclusief \(1\) en exclusief zichzelf. Zie ook bij (OEIS A005101)
Kortom \(12 \to1+2+3+4+6=16\) en \(12\lt16\).
Deze kunnen een totaal oppervlak van \(12*5=60\) eenheden bedekken, bvb. een rechthoek van \(3*20;4*15;5*12\)
of \(6*10\). Tal van andere mogelijkheden bestaan. Zie illustratie bij en ook
Twee driehoeken met zijden \((5;5;6)\) en \((5;5;8)\) hebben beide als oppervlakte een waarde van \(12\).
Driehoeken met gehele zijden en waarvan de oppervlakte een geheel getal is, heten driehoeken van HERON (of HERO).
\((5;12;13),(9;12;15),(12;16;20),(12;35;37)\)
\begin{align} 3*4&=12\\ 33*34&=1122\\ 333*334&=111222\\ 3333*3334&=11112222\\ \cdots&=\cdots \end{align}
\begin{align} 1*9+2&=11\\ 12*9+3&=111\\ 123*9+4&=1111\\ 1234*9+5&=11111\\ 12345*9+6&=111111\\ 123456*9+7&=1111111\\ 1234567*9+8&=11111111\\ \cdots&=\cdots \end{align}
\begin{align} 35^2&=1225\\ 335^2&=112225\\ 3335^2&=11122225\\ 33335^2&=1111222225\\ 333335^2&=111112222225\\ 3333335^2&=11111122222225\\ \cdots&=\cdots \end{align}
in formulevorm : \((2n-1)^2+(2n+1)^2+(2n+3)^2=12n^2+12n+12=12*(n^2+n+1)\)
Het getal \(12\) heeft \(6\) delers : \(1;2;3;4;6;12\). Het getal \(6\) is een perfect getal. De som
van alle delers van \(12\) is \(28\) en dat is óók een perfect getal. Een getal zoals \(12\) waarbij zowel aantal als
som van de delers een perfect getal is, heet een “subliem” getal. Er is nog één enkel subliem getal bekend.
Voor de anecdote, het is \(2^{126}(2^{61}-1)(2^{31}-1)(2^{19}-1)(2^7-1)(2^5-1)(2^3-1)\) of, voluit geschreven :
Dit reuzengetal bestaat in feite uit een macht van \(2\), vermenigvuldigd met een aantal MERSENNE-priemgetallen.
Net zoals \(12\) dat kan geschreven worden als \(2^2(2^2-1)\). Zie ook bij (OEIS A000043) en (OEIS A081357)
Met de cijfers \(0,1\) en \(2\) voor de grondtallen en de cijfers \(0,1\) en \(4\) voor de kwadraten
(waarbij \(0=0^2,1=1^2\) en \(4=2^2\), cfr de cijfers van de grondtallen) maakt men :
\(12^2=144\iff21^2=441\quad;\quad102^2=10404\iff120^2=14400\quad;\quad201^2=40401\iff210^2=44100\).
Noteer, voor wat het waard is, dat \(588\) deelbaar is door \(12\to588/12=49\). Terloops : \(12\)\(^{588}\) is \(635\) cijfers lang.
Getallen \(n\) waarbij het cijfer \(1\) niet voorkomt in de decimale expansie van \(n,n^2\) als \(n^3\) :
\(588\to345744\to203297472~~\) en \(~~635\to403225\to256047875~~~~\) (OEIS A255357)
Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\)
\(12=(3+1)+(3-1)+(3*1)+(3/1)\)
\(45792/3816=73548/6129=89532/7461=91584/7632=12\)
\(12\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(1\) oplossing)
\(107352/8946=12\)
Een icosaëder (twintigvlak) heeft \(12\) hoekpunten.
\(12\) pentagons (vijfhoeken) zijn er nodig om een regelmatige dodecaëder (twaalfvlak) te vormen.
\(12!-1\) is een priemgetal \((=479001599)\), de vijfde in zijn soort \((k!-1)~~\) (OEIS A002982)
Alle getallen van \(1\) tot \(12\) worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheden
van producten van machten. Vele andere combinaties zijn mogelijk. Verdeelsleutel \([1-5]\) levert geen oplossingen.
Verdeelsleutel \([2-4]\) levert \(61\) zuivere oplossingen. Verdeelsleutel \([3-3]\) heeft er netto \(114\). \begin{align} 2^{10}*12^{11}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^1*4^7*8^6*9^5\\ 2^{11}*3^7*4^{12}&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^5*8^{10}*9^1 \end{align}
\(12\) als som van zes getallen (op een cirkel geplaatst) die één voor één het product zijn van hun buurgetallen
\(12=6+2+{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{6}}+{\Large\frac{1}{2}}+3\)
\(10^2+11^2+{\color{blue}{12^2}}=13^2+14^2=\)
\(\begin{align}12\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{19}{39}}\right)^3+\left({\frac{89}{39}}\right)^3\end{align}\)
(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)
\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356) [y waarde] (OEIS A190580) [z waarde] (OEIS A190581)
Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326) [y waarde] (OEIS A254324)
\(2\)\(^{12}\)\(\,+\,3\) is een priemgetal \((=4099)\), de zevende in zijn soort \((2^k+3)~~\) (OEIS A057732)
\(2\)\(^{12}\)\(\,-\,3\) is een priemgetal \((=4093)\), de zevende in zijn soort \((2^k-3)~~\) (OEIS A050414)
Som der reciproken van partitiegetallen van \(12\) levert nooit \(1\) op.
Bijgevolg ook geen partities met unieke termen.
\(12^3=1728~~\) en \(~~-1+7-2+8=12\)
\(12^4=20736~~\) en \(~~2+0+7-3+6=12\)
\(12^5=248832~~\) en \(~~24-8-8+3!-2=12\)
\(12^6=2985984~~\) en \(~~2*9-8+5+9-8-4=12\)
\(12^7=35831808~~\) en \(~~3+5-8-3-1+8+0+8=12\)
\(12^8=429981696~~\) en \(~~-4+2-9+9-8+1+6+9+6=12\)
\(12^9=5159780352~~\) en \(~~5*1+5-9-7+8+0+3+5+2=12\)
\(12^2=144\) idem dito namelijk \(71 + 73~~\) (OEIS A213784)