$11=5+6$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$11=1+2+3+5$ (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

$11=$ het $5$de priemgetal (OEIS A007097)

$11\mathbf{=}{1}^2+1^2+3^2\mathbf{=}(0;1;1;3)➋\to \{\mathrm{\#}1\}$

$11\mathbf{=}{1}^3+1^3+1^3+2^3\mathbf{=}(0;0;0;0;0;1;1;1;2)➌\to \{\mathrm{\#}1\}$

$11\mathbf{=}\sqrt{2\ast 3\ast 4\ast 5+1}\mathbf{=}2+(2+1{)}^2$ (product van vier opeenvolgende getallen plus $1$ is een kwadraat)

$$(OEIS A028387)

$11\mathbf{=}{3}^2+2\mathbf{=}{2}^3+3$

$11\mathbf{=}{3}^3-[2^4][4^2]\mathbf{=}{6}^2-5^2\mathbf{=}{15}^3-{58}^2\mathbf{=}{56}^2-5^5$

$11\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$12$ oplossingen bekend

$$References Sum of Three Cubes

$11\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$0^n+(-1{)}^5+{13}^5+{16}^5+(-17{)}^5(n>0)(n=5)\mathbf{=}\to$Noteer dat$0-1+13+16-17\mathbf{=}11$

$(-8{)}^5+{22}^5+{29}^5+{39}^5+(-41{)}^5\mathbf{=}(z>200)$

${11}^2=(3^5-1)/(3-1)$ (dit patroon komt enkel nog voor bij 17.9 en 20.5 )

${11}^2=2^2+6^2+9^2$

${11}^2\mathbf{=}5!+1\mathbf{=}(3+2)!+(3-2)!$

${11}^2=3^0+3^1+3^2+3^3+3^4$ ($$het enige andere geval is met 20.5 )

${11}^2\mathbf{=}23+42+56\mathbf{=}65+24+32$ (palindroomsom)

${11}^2\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $121$

${11}^3\mathbf{=}{66}^2-{55}^2\mathbf{=}{228}^2-{37}^3\mathbf{=}{443}^3-{9324}^2\mathbf{=}{666}^2-{665}^2$

$$Elke derdemacht $n^3$ kan geschreven worden als het verschil van twee kwadraten.

$$De algemene formule is $(\frac{n^2+n}{2}{)}^2-(\frac{n^2-n}{2}{)}^2$

$$Het verschil tussen de twee grondtallen zelf is steeds ons paginagetal, in dit geval $66-55=11$

$$en alles wordt extra belicht via een gearceerd bruin kadertje. Zie ook bij 15.3 en 31.3

${11}^3\mathbf{=}{3}^2+{19}^2+{31}^2$

${11}^4\mathbf{=}{22}^2+{66}^2+{99}^2\mathbf{=}{17}^3+{24}^3-8^4$

$$3primes[\begin{array}{c}\\ & 2& +& 2& +& 7\\ & 3& +& 3& +& 5\\ \end{array}$$

Er is een verband tussen de vermenigvuldigingstafel van $9$ en de deling van een natuurlijk getal door $11$ :
$$\begin{array}{rl}1/11& =0,\mathbf{09}0909\dots \\ 2/11& =0,\mathbf{18}1818\dots \\ 3/11& =0,\mathbf{27}2727\dots \\ \cdots & =\cdots \\ 10/11& =0,\mathbf{90}9090\dots \\ \cdots & =\cdots \\ 13/11& =1,\mathbf{18}1818\dots \text{Het patroon blijft zich herhalen als de teller met 11 verhoogt}\\ 14/11& =1,\mathbf{27}2727\dots \end{array}$$

De multiplicatieve persistentie is het aantal stappen dat nodig is om, vertrekkend van een
getal, door herhaaldelijk de cijfers te vermenigvuldigen, te komen tot één cijfer. Bvb. Vertrekkend van
$68$ vindt men $48(=6\ast 8);32(=4\ast 8)$ en tenslotte $6(=3\ast 2)$ na drie stappen. De multiplicatieve
persistentie van $68$ is daarom $3$. De hoogst bekende multiplicatieve persistentie is $11$ en wel voor het
getal $277777788888899$. Zie ook bij 77.12

Ziehier de kleinste getallen voor de persistenties van $1$ tot $11$. Zie ook bij 679.6 voor meer informatie.
De tussenliggende getallen zijn ook gegeven tenzij verwezen wordt naar de behandeling van het getal zelf :

$\begin{array}{llll}1427& =& 7-2+4-1& =8\\ 562& =& 2-6+5& =1\end{array}\}8\ast 1=\mathbf{8}$

$801974=4-7+9-1+0-8=-3$

 ○–○–○ 

$$\begin{array}{rl}11\ast 91& =1001\\ 101\ast 9901& =1000001\\ 1001\ast 999001& =1000000001\\ 10001\ast 99990001& =1000000000001\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}11\ast 11& =121\\ 112211\ast 11& =1234321\\ 1122332211\ast 11& =12345654321\\ 11223344332211\ast 11& =123456787654321\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}11& =2+9\ast 1\\ 111& =3+9\ast 12\\ 1111& =4+9\ast 123\\ 11111& =5+9\ast 1234\\ 111111& =6+9\ast 12345\\ \cdots & =\cdots \end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{55556}^2-{44445}^2& =1111111111\\ {5556}^2-{4445}^2& =11111111\\ {556}^2-{445}^2& =111111\\ {56}^2-{45}^2& =1111\\ 6^2-5^2& =11\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{1}^2& =1\\ {11}^2& =121\\ {111}^2& =12321\\ {1111}^2& =1234321\\ {11111}^2& =123454321\\ {111111}^2& =12345654321\\ {1111111}^2& =1234567654321\\ {11111111}^2& =123456787654321\\ {111111111}^2& =12345678987654321\\ {1111111111}^2& =1234567\underset{―}{90098}7654321\text{(let op : de symmetrie is hier verbroken)}\end{array}$$

$Opgave$
$(2^a-1)$ is een priemgetal op voorwaarde dat $a$ een priemgetal is. Maar... dat is niet steeds
juist. Zoek het kleinste getal $a$ waarvoor deze bewering niet klopt.
$Oplossing$
We onderzoeken achtereenvolgens $a=2,3,5,7,11,\dots$ en vinden :
$(2^2-1)=3;(2^3-1)=7;(2^5-1)=31;(2^7-1)=127$ zijn allemaal priemgetallen.
Maar bij $(2^{11}-1)$ gaat het mis want $(2^{11}-1)=2047=23\ast 89$

$Opgave$
Plaats op de * de cijfers van $1$ tot $9$ zodat de aaneengeschakelde getallen van vier cijfers steeds een elfvoud zijn

$\begin{array}{ccccccccc}& & \ast & & \ast & & \ast & & \ast \\ & & & \ast & & & & \ast \\ & & & & \ast & & \ast \\ & & & & & \ast \end{array}$

Plaats daarna de cijfers zodanig dat de som van de cijfers langs de drie zijden tekens een veelvoud van $11$ is.
$Oplossing$
Ziehier een oplossing voor het eerste probleem :

$\begin{array}{ccccccccc}& & 6& & 5& & 7& & 8\\ & & & 1& & & & 2\\ & & & & 4& & 3\\ & & & & & 9\end{array}$

De bedoelde getallen zijn $6578;8756;6149;9416;8239en9328$

$\begin{array}{ccccccccc}& & 5& & 6& & 7& & 4\\ & & & 3& & & & 9\\ & & & & 2& & 8\\ & & & & & 1\end{array}$

Het totaal van één zijde is $11$; van de twee andere $22$. Men kan ook de cijfers $6$ en $7$; $2$ en $3$; $8$ en $9$
verwisselen zodat nog verschillende varianten van de gegeven oplossing mogelijk zijn.

Zet men in het midden van “$11$” telkens groepen van de cijfers “$36$” dan heeft men priemgetallen :

$$\begin{array}{rl}11& =priem\\ 1361& =priem\\ 136361& =priem\\ 13636361& =priem\\ 1363636361& =priem\\ 136363636361& =priem\to \text{hierna is het mooie liedje gedaan want}\\ 13636363636361& =17\ast 1321\ast 5693\ast 106661\end{array}$$

De eerste keer dat er $11$ opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen $199$ en $211$
met aldus een priemkloof van $12.$ (OEIS A000101.pdf)

Er zijn $8$ getallen van elf cijfers die gelijk zijn aan de som van de elfde macht van hun cijfers :

$32164049650=3$${}^{11}$$+2$${}^{11}$$+1$${}^{11}$$+6$${}^{11}$$+4$${}^{11}$$+0$${}^{11}$$+4$${}^{11}$$+9$${}^{11}$$+6$${}^{11}$$+5$${}^{11}$$+0$${}^{11}$

De overige $7$ getallen zijn

$32164049651,40028394225,42678290603,44708635679,49388550606,82693916578,94204591914$

(OEIS A005188)

$11\ast 10$${}^{11}$$-1$ is een veralgemeend Woodall priemgetal, de vierde in zijn soort ($k\ast {10}^k-1$).
(OEIS A059671) & (OEIS A216346)

$11=1\ast 10$${}^1$$+1$ is een veralgemeend Woodall getal, de tweede in zijn soort ($k\ast {10}^k+1\to k=1$)$$ (OEIS A064748)

Verbind alle hoekpunten van een reguliere vijfhoek (pentagon) diagonaalsgewijs met elkaar.
Het totale aantal regio's dat daardoor ontstaat is exact $11$. (OEIS A007678) (Interactieve illustratie)

$F(11)=89$is een Fibonacci priemgetal. (OEIS A001605) (OEIS A005478)

Som der reciproken van partitiegetallen van $11$ is $1$ op één wijze.

Deze partitie heeft unieke termen.

$(1)11=2+3+6$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}$

(OEIS A125726)

De volgende formule levert getallen die deelbaar zijn door $11$

${10}^n-9^n+8^n-7^n+\cdots +4^n-3^n+2^n-1^n$

maar enkel op voorwaarde dat het even machten zijn.

Primoriaal van $11$ min $1$ is een priemgetal.

$2\ast 3\ast 5\ast 7\ast 11-1=2309$

(Wikipedia) (OEIS A006794)

$11$ deelt $10$${}^{11+1}$$-1$, de vierde in zijn soort $({10}^{k+1}-1)$ (OEIS A175203)

$11!+2$${}^{11}$$-1$ is een priemgetal $(=39918847)$, de zesde in zijn soort $(k!+2^k-1)$ (OEIS A186449)

$10$${}^{11+1}$$-1$ is deelbaar door $11$. (OEIS A175203)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $11$
$11\mathbf{=}prime(prime(prime(prime(1))))\ast 1+1-1\mathbf{=}(1$^^$1)+1-1$

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{11}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left({98}^{11}\right)=98sdc\left({107}^{11}\right)=107sdc\left({108}^{11}\right)=108$

Met $11$ brengen we de som $\sum _{i\text{⩽}n}(\frac{1}{i})$ net voorbij de $3\to \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{11}=3,019877\dots$

(Wikipedia : Harmonische rij) (OEIS A002387)

Expressie van $n$ enkel gebruik makend van faculteiten, vierkantswortels en afrondingen.

In Pari/GP code : $11=$ceil(sqrt(ceil(sqrt(ceil(sqrt(11))!))!))

$11=\lceil \sqrt{\lceil \sqrt{\lceil \sqrt{11}\rceil !}\rceil !}\rceil$

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$11=11$
$11=22/2$
$11=33/3$
$11=44/4$
$11=55/5$
$11=66/6$
$11=77/7$
$11=88/8$
$11=99/9$

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$11=1+23+4+5+67-89$
$11=9+8-7+65-43-21$

$$\begin{array}{cccccc}& & & & & 2\\ & & & & 3& & 5\\ & & & 6& & 1& & 4\end{array}$$

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$