$10=1+2+3+4$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$10=4+6$ (som van opeenvolgende pare getallen)

$10\mathbf{=}1+3+6\mathbf{=}D(1)+D(2)+D(3)\mathbf{=}D(4)$

$$(som van driehoeksgetallen en bovendien zelf een driehoeksgetal) (OEIS A222716)

$10=2+3+5$ (som van opeenvolgende priemgetallen) (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

$$en ook $10=2\ast 5$ (eerste en laatste priemgetal uit de vorige rij) (OEIS A055233)

$10\mathbf{=}{3}^2+1$

$10=4^2-3^2+2^2-1^2$

$10\mathbf{=}{1}^2+3^2\mathbf{=}{1}^2+1^2+2^2+2^2\mathbf{=}((0;0;1;3)(1;1;2;2))➋\to \{\mathrm{\#}2\}$

$10\mathbf{=}{1}^3+1^3+2^3\mathbf{=}$(som van drie positieve derdemachten)$\mathbf{=}(0;0;0;0;0;0;1;1;2)➌\to \{\mathrm{\#}1\}$

$10=\frac{\sqrt{{10}^3-{10}^2}}{\lfloor \sqrt{10}\rfloor }$

$10\mathbf{=}{13}^3-3^7$ (enige oplossing met limieten grondtal $9999$ en exponent $19$ )

$10\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$10$ oplossingen bekend

$$References Sum of Three Cubes

$10\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$(-1{)}^5+(-1{)}^5+{13}^5+{16}^5+(-17{)}^5\mathbf{=}(z>200)\to$Noteer dat$-1-1+13+16-17\mathbf{=}10$

Een vierkant kan verdeeld worden in $10$ scherphoekige, gelijkbenige driehoeken. De dubbele voorwaarde
scherphoekig én gelijkbenig maakt dat er minimaal $10$ driehoeken nodig zijn.
De algemeen bekende oplossing is met $8$ driehoeken, maar die stelt enkel de voorwaarde van scherphoekigheid.
Een illustratie van deze laatste oplossing is te googlen met "The Geometry Junkyard Acute Square Triangulation".
Zie ook bij 8.27 voor scherphoekige (Eng. isosceles) driehoeken.

$10=0!+1!+2!+3!$

$10!=6!\ast 7!$ (uniek patroon met twee opeenvolgende faculteiten)

$10!=1!\ast 3!\ast 5!\ast 7!$ of $10!=3!\ast 5!\ast 7!$

$10\mathbf{=}1+1+1+2+5\mathbf{=}1\ast 1\ast 1\ast 2\ast 5$

${10}^2\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $100$

${10}^3\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $1000$

${10}^2=1^2+3^2+4^2+5^2+7^2$

${10}^2={14}^2+{13}^2-{12}^2-{11}^2$ of ${10}^2+{11}^2+{12}^2={13}^2+{14}^2$

${10}^2=1^3+2^3+3^3+4^3$

$$2oddprimes[\begin{array}{cccc}& 3& +& 7\\ \\ & 5& +& 5\end{array}$$

$$3,4\mathrm{\&}5primes[\begin{array}{ccccccc}& & \mathbf{2}& +& \mathbf{3}& +& \mathbf{5}\\ & 2& +& 2& +& 3& +& 3\\ & 2& +& 2& +& 2& +& 2& +& 2\end{array}$$

Elke macht van $10$ kan worden geschreven als het product $10\ast 10\ast 10\ast \dots$, bvb. ${10}^4=10\ast 10\ast 10\ast 10$.
In sommige gevallen kan een macht van $10$ worden geschreven als een product waar geen enkele nul in voorkomt,
bvb. ${10}^3=1000=8\ast 125$. Er zijn maar $11$ gevallen bekend waarin producten zonder nul mogelijk zijn :
$$\begin{array}{rl}{10}^0& =1\\ {10}^1& =2\ast 5\\ {10}^2& =4\ast 25\\ {10}^3& =8\ast 125\\ {10}^4& =16\ast 625\\ {10}^5& =32\ast 3125\\ {10}^6& =64\ast 15625\\ {10}^7& =128\ast 78125\\ {10}^9& =512\ast 1953125\\ {10}^{18}& =262144\ast 6814697265625\\ {10}^{33}& =8589934592\ast 116415321826934814453125\end{array}$$

$Opgave$
Schrijf $10$ met $3$ enen en $3$ drieën. Alle bewerkingstekens en haakjes mogen gebruikt worden.
$Oplossing$
Naast oplossingen als $3+3+3+(1\ast 1\ast 1)$ of $33/3-(1\ast 1\ast 1)$ en zelfs
$1\ast 3\ast (3+1)-(3-1)$ is er deze bijzonder mooie : $10=1/(1-(3/(3+1/3)))$

$Opgave$
Schrijf $10$ met enkel cijfers $1$, met enkel cijfers $2$, enz. tot met enkel cijfers $9$.
$Oplossing$

(met o.a. dank aan Inder. J. Taneja)
$10\mathbf{=}11-1\mathbf{=}1+(1+1+1)\ast (1+1+1)$
$10\mathbf{=}2+2\ast 2\ast 2\mathbf{=}22/2-2/2$
$10\mathbf{=}3\ast 3+3/3$
$10\mathbf{=}(44-4)/4\mathbf{=}4+4+\sqrt{4}\mathbf{=}4+4+(4+4)/4$
$10\mathbf{=}5+5$
$10\mathbf{=}(66-6)/6\mathbf{=}6+6-(6+6)/6$
$10\mathbf{=}(77-7)/7\mathbf{=}7+(7+7+7)/7$
$10\mathbf{=}(88-8)/8\mathbf{=}8+(8+8)/8$
$10\mathbf{=}9+9/9\mathbf{=}99/9-9/9\mathbf{=}99/99+9$

$10$ kan op velerlei wijzen uitgedrukt worden als een breuk met als teller en noemer telkens een product

van $2$ pandigitale getallen.

Hier is alvast één voorbeeld : $10=\frac{4093827156\ast 2561839740}{1023456789\ast 1024735896}$

$10\ast (A+B)=A\ast B$ heeft vijf oplossingen in gehele getallen :
$$\begin{array}{rl}10\ast (11+110)& =11\ast 110\\ 10\ast (12+60)& =12\ast 60\\ 10\ast (14+35)& =14\ast 35\\ 10\ast (15+30)& =15\ast 30\\ 10\ast (20+20)& =20\ast 20\end{array}$$

Er is slechts $1$ getal van tien cijfers dat gelijk is aan de som van de $tiende$ macht van zijn cijfers :

$4679307774=4$${}^{10}$$+6$${}^{10}$$+7$${}^{10}$$+9$${}^{10}$$+3$${}^{10}$$+0$${}^{10}$$+7$${}^{10}$$+7$${}^{10}$$+7$${}^{10}$$+4$${}^{10}$

(OEIS A005188)

Alle getallen van $1$ tot $10$ worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheden

van producten van machten. Verdeelsleutel $[1-4]$ levert geen oplossingen. Verdeelsleutel $[2-3]$ levert $2$ zuivere

oplossingen. Hier zijn ze : $$\begin{array}{rl}{3}^5\ast 8^7& \mathbf{=}{4}^{10}\ast 6^1\ast 9^2\\ 6^{10}\ast 8^1& \mathbf{=}{2}^7\ast 4^3\ast 9^5\end{array}$$

Voor $n=10$ geldt $\sigma (n)=\sigma (n+7)\to \sigma (10)=\sigma (17)=18(\sigma$ of  'sigma' staat voor som der delers)

$10$ is de eerste oplossing uit (OEIS A015867)

In deze Numberphile YouTube Video A Video about the Number 10 - Numberphile is James Grime op zoek naar een
'vriend' voor het getal $10$. De kans om iemand te vinden blijkt echter zeer zeer klein.

Som der reciproken van partitiegetallen van $10$ is $1$ op één wijze.

Deze partitie heeft evenwel geen unieke termen.

$(1)10=2+4+4$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$

(OEIS A125726)

$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$

(OEIS A053612)

${10}^2+{11}^2+{12}^2={13}^2+{14}^2=365$

Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende kwadraten.

De eerste term van de linkersom is (OEIS A014105).

De eerste term van de rechtersom is (OEIS A001804). $2\ast m-1=2\ast 13-1=25=5^2$ is een perfect kwadraat.

Het verschil $13-10=3$ geeft het aantal termen weer van de linkersom. En ééntje minder in de rechtersom.

(OEIS A059255)

$10!+10+1$ is een priemgetal, de zesde in zijn soort $(k!+k+1)$ (OEIS A073308)

$2$${}^{10}$$-3$ is een priemgetal $(=1021)$, de zesde in zijn soort $(2^k-3)$ (OEIS A050414)

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{10}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left({82}^{10}\right)=82sdc\left({85}^{10}\right)=85sdc\left({94}^{10}\right)=94$

$sdc\left({97}^{10}\right)=97sdc\left({106}^{10}\right)=106sdc\left({117}^{10}\right)=117$

Expressies met tweemaal de cijfers uit het getal $10$
$10\mathbf{=}(1$^^$0)\ast 1+0\mathbf{=}prime(prime(prime(prime(1))))+0-1+0$

Expressie van $n$ enkel gebruik makend van faculteiten, vierkantswortels en afrondingen. In Pari/GP code

$10=$floor(sqrt(prod(j=1,floor(sqrt(sqrt(prod(i=1,10/2,i*2))))/2,2*j+1)))

$10=\lfloor \sqrt{\lfloor \sqrt{\sqrt{10!!}}\rfloor !!}\rfloor$

Het omgekeerde van $2^{10}$ is een priemgetal $\to 4201$

Pari/GP code : isprime(fromdigits(Vecrev(digits(2^10))))$\to 1=$ true

(OEIS A057708)

$$\begin{array}{rl}{10}^0& =1\\ {10}^0+{10}^1& =11\\ {10}^0+{10}^1+{10}^2& =111\\ {10}^0+{10}^1+{10}^2+{10}^3& =1111\\ {10}^0+{10}^1+{10}^2+{10}^3+{10}^4& =11111\\ {10}^0+{10}^1+{10}^2+{10}^3+{10}^4+{10}^5& =111111\\ {10}^0+{10}^1+{10}^2+{10}^3+{10}^4+{10}^5+{10}^6& =1111111\end{array}$$

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$