\(10=1+2+3+4\) (som van opeenvolgende gehele getallen)
\(10=4+6\) (som van opeenvolgende pare getallen)
\(10\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+3+6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(1)+D(2)+D(3)~~\) (som van driehoeksgetallen en bovendien zelf een driehoeksgetal)
\(10={\color{red}{2}}+3+{\color{red}{5}}\) (som van opeenvolgende priemgetallen) (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)
\(\qquad\;\,\)en ook \(10={\color{red}{2}}*{\color{red}{5}}\) (eerste en laatste priemgetal uit de vorige rij) (OEIS A055233)
\(10\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+1\)
\(10=4^2-3^2+2^2-1^2\)
\(10\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+1^2+2^2+2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;1;3)\,(1;1;2;2))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#2\}\)
\(10\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[#f4f4f4,3px,border:1px solid]{1^3+1^3+2^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie positieve derdemachten)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(0;0;0;0;0;0;1;1;2)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}\)
\(10\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13^3-3^7~~\) (enige oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) )
\(10\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)
\(\qquad\;\,10\) oplossingen bekend
\(\qquad\;\,\)References Sum of Three Cubes
\(10\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)
\(\qquad\;\,\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-1)^5+(-1)^5+13^5+16^5+(-17)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\to~~\)Noteer dat\(~~-1-1+13+16-17\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10\)
gebruikelijkst. Computers rekenen met het tweetallig (of binaire) stelsel of het zestientallige (of hexadecimale) stelsel.
De oorsprong van het tientallig stelsel ligt in het feit dat we \(10\) vingers hebben.
Een vierkant kan verdeeld worden in \(10\) scherphoekige, gelijkbenige driehoeken. De dubbele voorwaarde
scherphoekig én gelijkbenig maakt dat er minimaal \(10\) driehoeken nodig zijn.
De algemeen bekende oplossing is met \(8\) driehoeken, maar die stelt enkel de voorwaarde van scherphoekigheid.
Een illustratie van deze laatste oplossing is te googlen met "The Geometry Junkyard Acute Square Triangulation".
Zie ook bij voor scherphoekige (Eng. isosceles) driehoeken.
(\(geen\) oplossingen → ook niet voor de veelvouden van \(10\)).
\(10=0!+1!+2!+3!\)
\(10!=6!*7!~~\) (uniek patroon met twee opeenvolgende faculteiten)
\(10!=1!*3!*5!*7!~~\) of \(~~10!=3!*5!*7!\)
\(10\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+1+1+2+5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1*1*1*2*5\)
\(10^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij getalpagina \(100\)
\(10^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(1000\)
\(10^2=1^2+3^2+4^2+5^2+7^2\)
\(10^2=14^2+13^2-12^2-11^2~~~~\) of \(~~~~10^2+11^2+12^2=13^2+14^2\)
\(10^2=1^3+2^3+3^3+4^3\)
van twee priemgetallen (bovendien zijn alle getallen oneven) :
$$ 2\;odd\;primes \left[ \begin{matrix} &3&+&7\\ \\ &5&+&5 \end{matrix} \right. $$
\(10\) als som van drie, vier en vijf priemgetallen :$$ 3,4\;\&\;5\;primes \left[ \begin{matrix} &&\mathbf{2}&+&\mathbf{3}&+&\mathbf{5}\\ &2&+&2&+&3&+&3\\ &2&+&2&+&2&+&2&+&2 \end{matrix} \right. $$
Het volgende getal met dezelfde eigenschap is \(39\) (zie ) en (OEIS A055514)
Elke macht van \(10\) kan worden geschreven als het product \(10*10*10*\dots\), bvb. \(10^4=10*10*10*10\).
In sommige gevallen kan een macht van \(10\) worden geschreven als een product waar geen enkele nul in voorkomt,
bvb. \(10^3=1000=8*125\). Er zijn maar \(11\) gevallen bekend waarin producten zonder nul mogelijk zijn :
\begin{align}
10^0&=1\\
10^1&=2*5\\
10^2&=4*25\\
10^3&=8*125\\
10^4&=16*625\\
10^5&=32*3125\\
10^6&=64*15625\\
10^7&=128*78125\\
10^9&=512*1953125\\
10^{18}&=262144*6814697265625\\
10^{33}&=8589934592*116415321826934814453125
\end{align}
geen enkel ander getal.
men \(10\) ballen kan schikken zowel tweedimensionaal in een driehoek met zijde \(4\), als driedimensionaal
in een piramide met onderste laag een gelijkzijdige driehoek van \(6\) ballen, hierop een driehoek met \(3\) ballen
en bovenop de laatste bal. Het volgende getal met die eigenschap is \(120\). Zie ook aldaar. (OEIS A027568)
\(\quad1+2+3+4~~=~~(3!+4!)/(1+2)~~=~~(2*4)+(3-1)~~=~~3^2+\sqrt4-1~~=~~(3*4-2)*1\)
verminderd met \(1\). Het kleinste kwadraat is dan de helft van het initiële even getal.
\(10=6^2-5^2-1\quad\) en \(\quad5 = \Large{10\over2}\)
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Schrijf \(10\) met \(3\) enen en \(3\) drieën. Alle bewerkingstekens en haakjes mogen gebruikt worden.
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
Naast oplossingen als \(\quad3+3+3+(1*1*1)\quad\) of \(\quad33/3-(1*1*1)\quad\) en zelfs
\(\quad1*3*(3+1)-(3-1)\quad\) is er deze bijzonder mooie : \(\quad10=1/(1-(3/(3+1/3)))\)
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Schrijf \(10\) met enkel cijfers \(1\), met enkel cijfers \(2\), enz. tot met enkel cijfers \(9\).
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
\(10=1+(1+1+1)*(1+1+1)\)
\(10=2+2*2*2\)
\(10=3*3+3/3\)
\(10=4+4+\sqrt4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+4+(4+4)/4\)
\(10=5+5\)
\(10=6+6-(6+6)/6\)
\(10=7+(7+7+7)/7\)
\(10=8+(8+8)/8\)
\(10=9+9/9\)
\(10\) kan op velerlei wijzen uitgedrukt worden als een breuk met als teller en noemer telkens een product
van \(2\) pandigitale getallen.
Hier is alvast één voorbeeld : \(10=\Large{\frac{4093827156\;*\;2561839740}{1023456789\;*\;1024735896}}\)
priemdelers). Voor \(10\) zijn dat de priemdelers \(2\) en \(5\). Het unieke is dat zowel de som als het verschil van beide
priemdelers van \(10\) telkens priemgetallen zijn : \(5+2=7\) en \(5-2=3\). Dit geldt enkel voor het getal \(10\).
\begin{align} 10*(11+110)&=11*110\\ 10*(12+60)&=12*60\\ 10*(14+35)&=14*35\\ 10*(15+30)&=15*30\\ 10*(20+20)&=20*20 \end{align}
\((5*7*8*9~\) of \(~2^3*3^2*5*7)\).
Er is slechts \(1\) getal van tien cijfers dat gelijk is aan de som van de \(tiende\) macht van zijn cijfers :
\(4679307774=4\)\(^{10}\)\(\,+\,6\)\(^{10}\)\(\,+\,7\)\(^{10}\)\(\,+\,9\)\(^{10}\)\(\,+\,3\)\(^{10}\)\(\,+\,0\)\(^{10}\)\(\,+\,7\)\(^{10}\)\(\,+\,7\)\(^{10}\)\(\,+\,7\)\(^{10}\)\(\,+\,4\)\(^{10}\)
Alle getallen van \(1\) tot \(10\) worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheden
van producten van machten. Verdeelsleutel \([1-4]\) levert geen oplossingen. Verdeelsleutel \([2-3]\) levert \(2\) zuivere
oplossingen. Hier zijn ze : \begin{align} 3^5*8^7&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^{10}*6^1*9^2\\ 6^{10}*8^1&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^7*4^3*9^5 \end{align}
Voor \(n=10~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+7) ~~\to~~ {\large\sigma}(10)={\large\sigma}(17)=18~~~~({\large\sigma}\) of 'sigma' staat voor som der delers)
\(10\) is de eerste oplossing uit (OEIS A015867)
In deze Numberphile YouTube Video A Video about the Number 10 - Numberphile is James Grime op zoek naar een
'vriend' voor het getal \(10\). De kans om iemand te vinden blijkt echter zeer zeer klein.
Som der reciproken van partitiegetallen van \(10\) is \(1\) op één wijze.
Deze partitie heeft evenwel geen unieke termen.
\((1)~~10=2+4+4~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{2}}+{\Large\frac{1}{4}}+{\Large\frac{1}{4}}\)
\(1+2+3+4+5+6+7+8+9+{\color{blue}{10}}=55=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2\)
\({\color{blue}{10^2}}+11^2+12^2=13^2+14^2={\color{tomato}{365}}\)
Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende kwadraten.
De eerste term van de linkersom is (OEIS A014105).
De eerste term van de rechtersom is (OEIS A001804). \(2*m-1=2*13-1=25=5^2\) is een perfect kwadraat.
Het verschil \(13-10=3\) geeft het aantal termen weer van de linkersom. En ééntje minder in de rechtersom.
\(10!+10+1\) is een priemgetal, de zesde in zijn soort \((k!+k+1)~~\) (OEIS A073308)
\(2\)\(^{10}\)\(\,-\,3\) is een priemgetal \((=1021)\), de zesde in zijn soort \((2^k-3)~~\) (OEIS A050414)