$9\mathbf{=}2+3+4\mathbf{=}4+5$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$9=1+3+5$ (som van opeenvolgende onpare getallen)

$9\mathbf{=}3+6\mathbf{=}D(2)+D(3)$ (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

$9=1^2+2^2+2^2$

$9\mathbf{=}{2}^3+1$

$9\mathbf{=}1+1+1+3+3\mathbf{=}1\ast 1\ast 1\ast 3\ast 3$

$9=1!+2!+3!$ (OEIS A007489) (som van opeenvolgende faculteiten)

$9\mathbf{=}(1+2)\ast 3\mathbf{=}(1+2{)}^2$

$9=0^4+1^3+2^2+3^1+4^0$

$9=!4$ (subfaculteit)

$9+9=18$ en $9\ast 9=81(\to 9^2=81)$

$9=((0;0;0;3)(0;1;2;2))➋\to \{\mathrm{\#}2\}$

$9\mathbf{=}{0}^3+1^3+2^3\mathbf{=}$ (als som van drie positieve derdemachten)

$((0;0;0;0;0;0;0;1;2)(1;1;1;1;1;1;1;1;1))➌\to \{\mathrm{\#}2\}$ (WARING : zie 9.19 )

$9\mathbf{=}{5}^2-[2^4][4^2]\mathbf{=}{6}^2-3^3\mathbf{=}{15}^2-6^3\mathbf{=}{253}^2-{40}^3$

$9\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$15$ oplossingen bekend

$$References Sum of Three Cubes

$9\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$oplossingonbekend\mathbf{=}(z>200)$

 ○–○–○ 

$9^2\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $81$

$9^3\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $729$

$9^2\mathbf{=}{1}^2+4^2+8^2\mathbf{=}{3}^2+6^2+6^2\mathbf{=}{4}^2+4^2+7^2$

$9^3\mathbf{=}{1}^3+6^3+8^3\mathbf{=}{2}^3+(-15{)}^3+{16}^3\mathbf{=}{16}^3+{33}^3+(-34{)}^3$

$9^4\mathbf{=}-1^4-2^4+3^4+7^4+8^4\mathbf{=}{2}^4+4^4+6^4+6^4+6^4+7^4$

Machten als langste sommen van opeenvolgende gehele getallen

$9^0=1$

$9^1=2+3+4$

$9^2=5+6+7+8+9+10+11+12+13$

$9^3=14+15+16+17+\dots +37+38+39+40$

$9^4=41+42+43+\dots +119+120+121$

$9^5=122+123+124+\dots +362+363+364$

$$2primes[\begin{array}{c}\\ & 2& +& 7\\ \end{array}$$

$$3primes[\begin{array}{cccccc}& 2& +& 2& +& 5\\ \\ & 3& +& 3& +& 3\end{array}$$

$$4primes[\begin{array}{c}\\ & 2& +& 2& +& 2& +& 3\\ \end{array}$$

$$\begin{array}{rl}9\ast 351& =3159\\ 9\ast 3501& =31509\end{array}$$

In de navolgende vermenigvuldigingen wordt een getal van $8$ verschillende cijfers (cijfers van $1$ tot $8$)
met $9$ vermenigvuldigd en is de uitkomst een getal van $10$ cijfers, alle verschillend (dus de cijfers $0$ tot $9$)
$$\begin{array}{rl}57624831\ast 9& =1037246958\\ 58132764\ast 9& =1046389752\\ 71465328\ast 9& =1286375904\\ 72645831\ast 9& =1307624958\\ 76125483\ast 9& =1370258694\\ 81274365\ast 9& =1462938570\end{array}$$

In de tafel van vermenigvuldiging van $9$ is de som van de cijfers $9$ of een veelvoud van $9$. Bovendien
daalt het cijfer van de eenheden telkens met $1$; het gedeelte groter dan de eenheden neemt telkens met
één eenheid toe (uitzondering : als het cijfer van de eenheden $0$ is, is bij de volgende vermenigvuldiging
het cijfer van de eenheden $9$ maar wijzigt er niets in het gedeelte groter dan de eenheden). Dus :
$$\begin{array}{rl}1\ast 9& =09\\ 2\ast 9& =18\\ 3\ast 9& =27\\ 4\ast 9& =36\\ \cdots & =\cdots \\ 9\ast 9& =81\\ 10\ast 9& =90\\ 11\ast 9& =99\text{(het cijfer van de tientallen blijft hetzelfde omdat het vorige product op 0 eindigde)}\\ 12\ast 9& =108\\ 13\ast 9& =117\\ \cdots & =\cdots \\ 19\ast 9& =171\\ 20\ast 9& =180\\ 21\ast 9& =189\text{(idem dito)}\\ 22\ast 9& =198\\ \cdots & =\cdots \end{array}$$

$$\begin{array}{rl}9\ast 1089& =9801\\ 9\ast 10899& =98091\\ 9\ast 109890& =989010\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}12345678\ast 9+9& =111111111\\ 1234567\ast 9+8& =11111111\\ 123456\ast 9+7& =1111111\\ 12345\ast 9+6& =111111\\ 1234\ast 9+5& =11111\\ 123\ast 9+4& =1111\\ 12\ast 9+3& =111\\ 1\ast 9+2& =11\\ 0\ast 9+1& =1\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}987654321\ast 9-1& =8888888888\\ 98765432\ast 9+0& =888888888\\ 9876543\ast 9+1& =88888888\\ 987654\ast 9+2& =8888888\\ 98765\ast 9+3& =888888\\ 9876\ast 9+4& =88888\\ 987\ast 9+5& =8888\\ 98\ast 9+6& =888\\ 9\ast 9+7& =88\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{9999999}^2& =999999\mathbf{8}000000\mathbf{1}\\ {999999}^2& =99999\mathbf{8}00000\mathbf{1}\\ {99999}^2& =9999\mathbf{8}0000\mathbf{1}\\ {9999}^2& =9999\mathbf{8}000\mathbf{1}\\ {999}^2& =999\mathbf{8}00\mathbf{1}\\ {99}^2& =99\mathbf{8}0\mathbf{1}\\ 9^2& =\mathbf{81}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}12345679\ast 9\ast 1& =111111111\\ 12345679\ast 9\ast 2& =222222222\\ 12345679\ast 9\ast 3& =333333333\\ 12345679\ast 9\ast 4& =444444444\\ 12345679\ast 9\ast 5& =555555555\\ 12345679\ast 9\ast 6& =666666666\\ 12345679\ast 9\ast 7& =777777777\\ 12345679\ast 9\ast 8& =888888888\\ 12345679\ast 9\ast 9& =999999999\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}987654321\ast 09& =08888888889\\ 987654321\ast 18& =17777777778\\ 987654321\ast 27& =26666666667\\ 987654321\ast 36& =35555555556\\ 987654321\ast 45& =44444444445\\ 987654321\ast 54& =53333333334\\ 987654321\ast 63& =62222222223\\ 987654321\ast 72& =71111111112\\ 987654321\ast 81& =80000000001\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}999999\ast 01& =0999999\\ 999999\ast 02& =1999998\\ 999999\ast 03& =2999997\\ 999999\ast 04& =3999996\\ 999999\ast 05& =4999995\\ 999999\ast 06& =5999994\\ 999999\ast 07& =6999993\\ 999999\ast 08& =7999992\\ 999999\ast 09& =8999991\\ 999999\ast 10& =9999990\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}9\ast 1089& =\mathbf{9801}\\ 9\ast 10989& =\mathbf{98}9\mathbf{01}\\ 9\ast 109989& =\mathbf{98}99\mathbf{01}\\ 9\ast 1099989& =\mathbf{98}999\mathbf{01}\\ 9\ast 10999989& =\mathbf{98}9999\mathbf{01}\\ 9\ast 109999989& =\mathbf{98}99999\mathbf{01}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}9& =1\ast 8+1\\ 98& =12\ast 8+2\\ 987& =123\ast 8+3\\ 9876& =1234\ast 8+4\\ 98765& =12345\ast 8+5\\ 987654& =123456\ast 8+6\\ \cdots & =\cdots \end{array}$$

$$\begin{array}{rl}9\ast 1+2& =11\\ 9\ast 12+3& =111\\ 9\ast 123+4& =1111\\ 9\ast 1234+5& =11111\\ \cdots & =\cdots \\ 9\ast 123456789+10& =1111111111\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}999999999\ast 2& =1999999998\\ 99999999\ast 2& =199999998\\ 9999999\ast 2& =19999998\\ \cdots & =\cdots \\ 99\ast 2& =198\\ 9\ast 2& =18\end{array}$$

$Opgave$
Henry DUDENEY stelde het probleem om $9$ te schrijven als som van twee derdemachten, en
wel op twee verschillende wijzen
$Oplossing$
Iedereen vindt natuurlijk wel de eerste manier : $\begin{array}{r}9\mathbf{=}{\left(\frac{1}{1}\right)}^3+{\left(\frac{2}{1}\right)}^3\end{array}$. De tweede oplossing is
buitengewoon moeilijk om te vinden en bestaat uit twee breuken : $\begin{array}{r}9={\left(\frac{415280564497}{348671682660}\right)}^3+{\left(\frac{676702467503}{348671682660}\right)}^3\end{array}$
Als men bedenkt dat deze puzzel uit ca. 1907 dateert, dan kan men slechts bewondering hebben voor het geduld
waarmee dit zonder enig hulpmiddel met de hand werd berekend. Zie ook bij 6.20 voor een soortgelijke prestatie.

En hoe buitensporig is deze som, ook van Dudeney's hand!
$\begin{array}{r}9={\left(\frac{487267171714352336560}{609623835676137297449}\right)}^3+{\left(\frac{1243617733990094836481}{609623835676137297449}\right)}^3\end{array}$

Enkele oplossingen met het minteken

$\begin{array}{r}9\mathbf{=}{\left(\frac{20}{7}\right)}^3-{\left(\frac{17}{7}\right)}^3\mathbf{=}{\left(\frac{919}{438}\right)}^3-{\left(\frac{271}{438}\right)}^3\mathbf{=}{\left(\frac{188479}{90391}\right)}^3-{\left(\frac{36520}{90391}\right)}^3\end{array}$

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

$(x^3+y^3)/z^3=n\to$ [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen $\to$ [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

$Opgave$
Schrijf op de * de cijfers van $1$ tot $8$ zodat in alle richtingen een negenvoud ontstaat $$\begin{array}{ccc}\ast & \ast & \ast \\ \ast & & \ast \\ \ast & \ast & \ast \end{array}$$ $Oplossing$
Ziehier een oplossing : $$\begin{array}{ccc}7& 5& 6\\ 8& & 1\\ 3& 4& 2\end{array}$$ Men heeft niet alleen de getallen van drie cijfers $(756;657;342;243;783;387;612en216)$ die
negenvouden zijn maar ook getallen van twee cijfers $(81;18;54;45)$ en diagonaal $(72;27;36;63)$
dus in totaal zestien negenvouden

$1125=9\ast 125$ : het volstaat om in $1125$ één cijfer $1$ te schrappen om te delen door $9$
$10125=9\ast 1125$ : het volstaat in $10125$ de nul te schrappen om te delen door $9$
Zo ook (het te schrappen cijfer staat in vet) : $$\begin{array}{rl}\mathbf{2}25& =9\ast 25\\ 2\mathbf{0}25& =9\ast 225\\ \mathbf{3}375& =9\ast 375\\ 3\mathbf{0}375& =9\ast 3375\\ \mathbf{4}5& =9\ast 5\\ 4\mathbf{0}5& =9\ast 45\\ \mathbf{5}625& =9\ast 625\\ 5\mathbf{0}625& =9\ast 5625\\ \mathbf{6}75& =9\ast 75\\ 6\mathbf{0}75& =9\ast 675\\ \mathbf{7}875& =9\ast 875\\ 7\mathbf{0}875& =9\ast 7875\end{array}$$ Merk op dat men uit elk product nog een extra product kan vinden door alle getallen met $10$ te
vermenigvuldigen : Men heeft dan bvb. $11250=9\ast 1250$ en $101250=9\ast 11250$

Het grootste getal dat met drie negens kan geschreven worden is $9^{9^9}$ dat is $9$ tot de $9$de macht tot de $9$de macht
en vermits $9^9=387420489$ is het getal gelijk aan $9$${}^{387420489}$

De som $9^0+9^1+9^2+9^3+9^4+9^5+\dots +9^n$ is voor elke waarde van n steeds een driehoeksgetal.
De som is gelijk aan $D(m)=1+2+3+4+\dots +(m-1)+m$ waarbij $2m=(3^{n+1}-1)$
Bvb. voor $n=4$ komt er : $9^0+9^1+9^2+9^3+9^4=7381$
Verder is $2m=3^5-1=242$, dus $m=121$ en $D(121)=$ $\frac{121\ast 122}{2}$ $=7381$

Nog dit : Opeenvolgende machten van $9$ eindigen afwisselend op $9$ en $1$. Maakt men de som van
opeenvolgende machten van $9$ dan is het eindcijfer hetzij $0$ hetzij $1$. Hier volgt een tabel met de eerste
machten van $9$ en de sommen van de vorm $9^0+9^1+9^2+9^3+9^4+\dots$

Als som met de vier operatoren $+-\ast /$
$9=(2+2)+(2-2)+(2\ast 2)+(2/2)$

De eerste keer dat er $9$ opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen $139$ en $149$
met aldus een priemkloof van $10.$ (OEIS A000101.pdf)

Er zijn $4$ getallen van negen cijfers die gelijk zijn aan de som van de $negende$ macht van hun cijfers :

$912985153=9$${}^9$$+1$${}^9$$+2$${}^9$$+9$${}^9$$+8$${}^9$$+5$${}^9$$+1$${}^9$$+5$${}^9$$+3$${}^9$

De overige drie getallen zijn : $146511208,472335975,534494836$

(OEIS A226970)

$9\to 33\to$ $$\begin{array}{rl}{5}^1+2^1+2^1& =4^1+4^1+1^1\\ en& ook\\ 5^2+2^2+2^2& =4^2+4^2+1^2\end{array}$$ $9\to 41\to$ $$\begin{array}{rl}{1}^1+2^1+6^1& =4^1+5^1\\ en& ook\\ 1^2+2^2+6^2& =4^2+5^2\end{array}$$

$9$${}^9$$=387420489$ is de hoogst gekende macht van $9$ waarbij geen cijfer $1$ voorkomt in de decimale expansie.

$9\ast 10$${}^9$$+1$ is een veralgemeend Cullen priemgetal, de derde in zijn soort ($k\ast {10}^k+1$). (OEIS A007647)

$2$${}^9$$-9$ is een priemgetal, de derde in zijn soort. (OEIS A048744)

$2$${}^9$$+9$ is een priemgetal, de vierde in zijn soort. (OEIS A052007)

$9=3^2=\frac{4!-3!}{2!}$

$10$${}^{9+1}$$-1$ is deelbaar door $9$. (OEIS A175203)

${10}^9+9$ is een priemgetal, de tweede in zijn soort (${10}^k+k$). (OEIS A089379)

$100$${}^9$$+9$ is een priemgetal, de derde in zijn soort (${100}^k+k$).

De reeks gaat als volgt $k=1,3,9,49,\dots$

Er zijn $9$ diagonalen binnen in een reguliere zeshoek $n=6$.

Het aantal diagonalen van een veelhoek met $n$ hoeken is als volgt te berekenen $\frac{n(n-3)}{2}$ voor $n>3$

(OEIS A000096)

Som der reciproken van partitiegetallen van $9$ is $1$ op één wijze.

Dit is evenwel geen partitie met unieke termen; integendeel alle termen zijn identiek.

$(1)9=3+3+3$ en $1=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$

(OEIS A125726)

De volgende formule levert getallen die deelbaar zijn door $9$

$8^n-7^n+6^n-5^n+4^n-3^n+2^n-1^n$

maar enkel op voorwaarde dat het even machten zijn.

$9+10+11+12=13+14+15=42$

Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende gehele getallen.

Dit is een eigenschap van de kwadraten zoals $k=9=3^2$. De linkersom heeft $\sqrt{k}+1$ termen en de rechtersom $\sqrt{k}$.

(OEIS A059270)

$2$${}^9$$-3$ is een priemgetal $(=509)$, de vijfde in zijn soort $(2^k-3)$ (OEIS A050414)

$9$${}^1$$+9$${}^0$$\mathbf{=}10$ (OEIS A236067)

Deze vermenigvuldiging van $9$ met een pandigitaal getal is een binair uitziend decimaal getal (alleen cijfers $0$ en $1$)
$9\ast 1234567890=11111111010$

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^9$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left({54}^9\right)=54sdc\left({71}^9\right)=71sdc\left({81}^9\right)=81$

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$9=11-1-1$
$9=(2+2/2{)}^2$
$9=3\ast 3$
$9=4+4+4/4$
$9=5+5-5/5$
$9=6+6\ast 6/(6+6)$
$9=7+(7+7)/7$
$9=8+8/8$
$9=9$

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$9=1^{(2345678)}\ast 9$
$9=9+87-65-43+21$

Expressie van $n$ enkel gebruik makend van faculteiten, vierkantswortels en afrondingen.

$9=$ceil(sqrt(sqrt((ceil(sqrt((prod(i=1,(sqrtint(9)!)/2,2*i)))))!))) in Pari/GP code

$9=\lceil \sqrt{\sqrt{\lceil \sqrt{(\sqrt{9}!)!!}\rceil !}}\rceil$

$\frac{1}{9}=\frac{1}{{10}^1}+\frac{1}{{10}^2}+\frac{1}{{10}^3}+\frac{1}{{10}^4}+\frac{1}{{10}^5}+\cdots$

De tafel van vermenigvuldiging van $9$ zit tot aan $81$ vervat in de reciproke van $1089$
$\frac{1}{1089}=0.00091827364554637281910009182736455463728$

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$