\(9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2+3+4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+5\) (som van opeenvolgende gehele getallen) \(9=1+3+5\) (som van opeenvolgende onpare getallen) \(9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3+6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}D(2)+D(3)\) (som van opeenvolgende driehoeksgetallen) \(9=1^2+2^2+2^2\) \(9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3+1\) \(9=((0;0;0;3)\,(0;1;2;2))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#2\}\) \(9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[#f4f4f4,3px,border:1px solid]{0^3+1^3+2^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) (als som van drie positieve derdemachten) \(\qquad((0;0;0;0;0;0;0;1;2)\,(1;1;1;1;1;1;1;1;1))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}~~\) (WARING : zie ) \(9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{5^2-[2^4][4^2]}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^2-3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}15^2-6^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}253^2-40^3\) | 9.1 | ||||||
\(9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten) \(\qquad15\) oplossingen bekend \(\qquad\)References Sum of Three Cubes \(9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten) \(\qquad\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\) | 9.2 | ||||||
\(9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+1+1+3+3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1*1*1*3*3\) \(9=1!+2!+3!\) \(9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1+2)*3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1+2)^2\) \(9=0^4+1^3+2^2+3^1+4^0\) \(9+9=18~~\) en \(~~9*9=81~~(\to9^2=81)\) | 9.3 | ||||||
\(9^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(81\) \(9^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(729\) | 9.4 | ||||||
\(9^2=8^2+4^2+1^2\) \(9^3=1^3+6^3+8^3\) \(9^3=16^3+33^3-34^3\) \(9^4=3^4+7^4+8^4-1^4-2^4\) \(9^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^2+4^2+8^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2+6^2+6^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^2+4^2+7^2\) | 9.5 | ||||||
Machten als langste sommen van opeenvolgende gehele getallen \(9^0=1\) \(9^1=2+3+4\) \(9^2=5+6+7+8+9+10+11+12+13\) \(9^3=14+15+16+17+\ldots+37+38+39+40\) \(9^4=41+42+43+\ldots+119+120+121\) \(9^5=122+123+124+\ldots+362+363+364\) | 9.6 | ||||||
| \(9!=7!*3!*3!*2!\) (de twee andere analoge gevallen zijn \(10!\) en \(16!\) ) | 9.7 | ||||||
| Eén getal is gelijk aan \(9\) maal de som van de cijfers : \(81=9*(8+1)\) | 9.8 | ||||||
| Het verschil tussen een getal \(ab\) van \(2\) cijfers (we veronderstellen dat \(a\gt b\)) en zijn omgedraaide \(ba\) is gelijk aan \(9*(a-b)\). Voorbeeld : \(73-37=9*4\) waarbij \(4=7-3\) | 9.9 | ||||||
| \(9\) als som van twee priemgetallen kan enkel als volgt :
$$ 2\;primes \left[ \begin{matrix} \\\ &2&+&7\\ \\ \end{matrix} \right. $$ \(9\) is het kleinste getal dat op twee verschillende wijzen als som van drie priemgetallen kan geschreven worden :$$ 3\;primes \left[ \begin{matrix} &2&+&2&+&5\\ \\ &3&+&3&+&3 \end{matrix} \right. $$ De onbewezen bewering van GOLDBACH (zie ook bij het hoofdstuk priemgetallen) luidde oorspronkelijkals volgt : Elk oneven getal groter dan of gelijk aan \(9\) is de som van drie oneven priemgetallen. | 9.10 | ||||||
| \(9\) met vier priemgetallen kan enkel met :
$$ 4\;primes \left[ \begin{matrix} \\ &2&+&2&+&2&+&3\\ \\ \end{matrix} \right. $$ | 9.11 | ||||||
| \(9\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(3\) oplossingen) \(57429/6381=58239/6471=75249/8361=9\) \(9\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(3\) oplossingen) \(95742/10638=95823/10647=97524/10836=9\) | 9.12 | ||||||
| Links en rechts van het gelijkheidsteken dezelfde cijfers : \begin{align} 9*351&=3159\\ 9*3501&=31509 \end{align} | 9.13 | ||||||
| In de navolgende vermenigvuldigingen wordt een getal van \(8\) verschillende cijfers (cijfers van \(1\) tot \(8\)) met \(9\) vermenigvuldigd en is de uitkomst een getal van \(10\) cijfers, alle verschillend (dus de cijfers \(0\) tot \(9\)) \begin{align} 57624831*9&=1037246958\\ 58132764*9&=1046389752\\ 71465328*9&=1286375904\\ 72645831*9&=1307624958\\ 76125483*9&=1370258694\\ 81274365*9&=1462938570 \end{align} | 9.14 | ||||||
| In de tafel van vermenigvuldiging van \(9\) is de som van de cijfers \(9\) of een veelvoud van \(9\). Bovendien daalt het cijfer van de eenheden telkens met \(1\); het gedeelte groter dan de eenheden neemt telkens met één eenheid toe (uitzondering : als het cijfer van de eenheden \(0\) is, is bij de volgende vermenigvuldiging het cijfer van de eenheden \(9\) maar wijzigt er niets in het gedeelte groter dan de eenheden). Dus : \begin{align} 1*9&=09\\ 2*9&=18\\ 3*9&=27\\ 4*9&=36\\ \cdots&=\cdots\\ 9*9&=81\\ 10*9&=90\\ 11*9&=99~~\text{(het cijfer van de tientallen blijft hetzelfde omdat het vorige product op 0 eindigde)}\\ 12*9&=108\\ 13*9&=117\\ \cdots&=\cdots\\ 19*9&=171\\ 20*9&=180\\ 21*9&=189~~\text{(idem dito)}\\ 22*9&=198\\ \cdots&=\cdots\\ \end{align} | 9.15 | ||||||
| Een getal van twee cijfers van de vorm \(a9\) (met \(a=0,1,2,\ldots\)) en eindcijfer \(9\) is te schrijven als \(a9=(a+9)+(a*9)\), bvb. \(49=4+9+4*9\) | 9.16 | ||||||
| \(9*(A+B)=A*B\) heeft drie oplossingen in gehele getallen : \(9*(10+90)=10*90\ ;\ 9*(12+36)=12*36\) en tenslotte \(9*(18+18)=18*18\) | 9.17 | ||||||
| In de volgende vermenigvuldigingen heeft het resultaat dezelfde cijfers als het oorspronkelijke getal : \begin{align} 9*1089&=9801\\ 9*10899&=98091\\ 9*109890&=989010 \end{align} | 9.18 | ||||||
| Volgens het vermoeden van WARING kan ieder geheel getal worden voorgesteld als de som van ten hoogste \(9\) derdemachten. In werkelijkheid zijn meestal \(8\) derdemachten voldoende (zie bij ) (OEIS A002804) | 9.19 | ||||||
| Om het getal \(10112359550561797752808988764044943820224719\) met \(9\) te vermenigvuldigen volstaat het om de \(9\) die op het einde staat gewoon naar de eerste plaats te brengen en de overige cijfers op hun plaats te laten : \(1011\ldots22471\mathbf{\color{blue}{9}}*9=\mathbf{\color{blue}{9}}1011\ldots22471\) | 9.20 | ||||||
| \(9\) ligt aan de basis van de “negenproef”, een hulpmiddel om te controleren of een berekening niet een fout resultaat oplevert. Aan de basis ligt de “digitale wortel” of cijferwortel, d.w.z. De som van alle cijfers van een getal en dit herhaald tot slechts één cijfer overblijft. De digitale wortel van \(7586\) is dus \(7+5+8+6=26\) en dit nogmaals herhaald : \(2+6=\mathbf{\color{blue}{8}}\). Het principe is dat men de bewerking met digitale wortels herhaalt. Bvb. voor een vermenigvuldiging : \(7586*359=2716912\) De digitale wortels zijn : \(7+5+8+6=8\) ; \(3+5+9=8\) voor beide factoren en \(2+7+1+6+9+1+2=1\) voor het product. Vermits we een vermenigvuldiging wensen te controleren gaan we de digitale wortels van beide factoren vermenigvuldigen en toetsen aan de digitale wortel van het product : \(8*8=64\) dus digitale wortel \(6+4=1\) en dit komt overeen met de digitale wortel van het product. Enkele opmerkingen : \(\quad\)afgetrokken de berekening van de digitale wortel; er blijft dan enkel \(1+5=6\) over) Een tegenvoorbeeld : \(475*312=142800\) : \(4+7+5=\mathbf{\color{blue}{7}}\) ; \(3+2+1=\mathbf{\color{blue}{6}}\) ; \(1+4+2+8+0+0=\underline6\) ; \(\mathbf{\color{blue}{7}}*\mathbf{\color{blue}{6}}=42=\underline6\) \(475*312=156300\) : \(1+5+6+3+0+0=\underline6\) en \(\mathbf{\color{blue}{7}}*\mathbf{\color{blue}{6}}=42=\underline6\) In beide gevallen is het resultaat fout (het juiste resultaat is \(148200\)) maar vindt de negenproef geen fout. | 9.21 | ||||||
| Er zijn twee rechthoekige driehoeken met gehele zijden en \(9\) als één van de zijden : \((9;12;15),(9;40;41)\) | 9.22 | ||||||
| In de vlakke meetkunde is de “Negenpuntscirkel van FEUERBACH” welbekend. De middens van de zijden van een driehoek ABC, de voetpunten van de hoogtelijnen vanuit de hoekpunten (deze drie lijnen snijden elkaar in het punt H), de middens van de lijnstukken AH, BH en CH zijn negen punten die alle negen op één cirkel liggen. | 9.23 | ||||||
| \begin{align} 12345678*9+9&=111111111\\ 1234567*9+8&=11111111\\ 123456*9+7&=1111111\\ 12345*9+6&=111111\\ 1234*9+5&=11111\\ 123*9+4&=1111\\ 12*9+3&=111\\ 1*9+2&=11\\ 0*9+1&=1\\ \end{align} | 9.24 | ||||||
| \begin{align} 987654321*9-1&=8888888888\\ 98765432*9+0&=888888888\\ 9876543*9+1&=88888888\\ 987654*9+2&=8888888\\ 98765*9+3&=888888\\ 9876*9+4&=88888\\ 987*9+5&=8888\\ 98*9+6&=888\\ 9*9+7&=88\\ \end{align} | 9.25 | ||||||
| \begin{align} 9999999^2&=999999\boldsymbol{\color{blue}{8}}000000\boldsymbol{\color{blue}{1}}\\ 999999^2&=99999\boldsymbol{\color{blue}{8}}00000\boldsymbol{\color{blue}{1}}\\ 99999^2&=9999\boldsymbol{\color{blue}{8}}0000\boldsymbol{\color{blue}{1}}\\ 9999^2&=9999\boldsymbol{\color{blue}{8}}000\boldsymbol{\color{blue}{1}}\\ 999^2&=999\boldsymbol{\color{blue}{8}}00\boldsymbol{\color{blue}{1}}\\ 99^2&=99\boldsymbol{\color{blue}{8}}0\boldsymbol{\color{blue}{1}}\\ 9^2&=\boldsymbol{\color{blue}{81}}\\ \end{align} | 9.26 | ||||||
| \begin{align} 12345679*9*1&=111111111\\ 12345679*9*2&=222222222\\ 12345679*9*3&=333333333\\ 12345679*9*4&=444444444\\ 12345679*9*5&=555555555\\ 12345679*9*6&=666666666\\ 12345679*9*7&=777777777\\ 12345679*9*8&=888888888\\ 12345679*9*9&=999999999\\ \end{align} | 9.27 | ||||||
| \begin{align} 987654321*09&=08888888889\\ 987654321*18&=17777777778\\ 987654321*27&=26666666667\\ 987654321*36&=35555555556\\ 987654321*45&=44444444445\\ 987654321*54&=53333333334\\ 987654321*63&=62222222223\\ 987654321*72&=71111111112\\ 987654321*81&=80000000001\\ \end{align} | 9.28 | ||||||
| \begin{align} 999999*01&=0999999\\ 999999*02&=1999998\\ 999999*03&=2999997\\ 999999*04&=3999996\\ 999999*05&=4999995\\ 999999*06&=5999994\\ 999999*07&=6999993\\ 999999*08&=7999992\\ 999999*09&=8999991\\ 999999*10&=9999990\\ \end{align} | 9.29 | ||||||
| \begin{align} 9*1089&=\mathbf{\color{blue}{9801}}\\ 9*10989&=\mathbf{\color{blue}{98}}9\mathbf{\color{blue}{01}}\\ 9*109989&=\mathbf{\color{blue}{98}}99\mathbf{\color{blue}{01}}\\ 9*1099989&=\mathbf{\color{blue}{98}}999\mathbf{\color{blue}{01}}\\ 9*10999989&=\mathbf{\color{blue}{98}}9999\mathbf{\color{blue}{01}}\\ 9*109999989&=\mathbf{\color{blue}{98}}99999\mathbf{\color{blue}{01}}\\ \end{align} | 9.30 | ||||||
| \begin{align} 9&=1*8+1\\ 98&=12*8+2\\ 987&=123*8+3\\ 9876&=1234*8+4\\ 98765&=12345*8+5\\ 987654&=123456*8+6\\ \cdots&=\cdots\\ \end{align} | 9.31 | ||||||
| \begin{align} 9*1+2&=11\\ 9*12+3&=111\\ 9*123+4&=1111\\ 9*1234+5&=11111\\ \cdots&=\cdots\\ 9*123456789+10&=1111111111\\ \end{align} | 9.32 | ||||||
| \begin{align} 999999999*2&=1999999998\\ 99999999*2&=199999998\\ 9999999*2&=19999998\\ \cdots&=\cdots\\ 99*2&=198\\ 9*2&=18\\ \end{align} | 9.33 | ||||||
| EEN PUZZEL
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\) En hoe buitensporig is deze som, ook van Dudeney's hand! Enkele oplossingen met het minteken \(\begin{align}9\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{20}{7}}\right)^3-\left({\frac{17}{7}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{919}{438}}\right)^3-\left({\frac{271}{438}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{188479}{90391}}\right)^3-\left({\frac{36520}{90391}}\right)^3\end{align}\) (Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) \((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356) [y waarde] (OEIS A190580) [z waarde] (OEIS A190581) Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326) [y waarde] (OEIS A254324) | 9.34 | ||||||
| EEN PUZZEL
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\) | 9.35 | ||||||
| MERKWAARDIGE NEGENVOUDEN
\(1125=9*125\) : het volstaat om in \(1125\) één cijfer \(1\) te schrappen om te delen door \(9\) | 9.36 | ||||||
| EEN WEETJE
Het grootste getal dat met drie negens kan geschreven worden is \(9^{9^9}\) dat is \(9\) tot de \(9\)de macht tot de \(9\)de macht en vermits \(9^9=387420489\) is het getal gelijk aan \(9\)\(^{387420489}\) | 9.37 | ||||||
| WETENSWAARD
De som \(9^0+9^1+9^2+9^3+9^4+9^5+\ldots+9^n\) is voor elke waarde van n steeds een driehoeksgetal. Nog dit : Opeenvolgende machten van \(9\) eindigen afwisselend op \(9\) en \(1\). Maakt men de som van
| 9.38 | ||||||
| \(9\) schrijven met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \(4\) : \(~~23-14~~=~~3*12/4~~=~~3*2+(4-1)~~=~~1*(2+3+4)~~=~~14-2-3~~=~~41-32~~=~~\) \(~~13-2-\sqrt{4}~~=~~2*3+1+\sqrt{4}~~=~~3*\sqrt{1+2*4}~~=~~21-(3*4)\) | 9.39 | ||||||
| Men moet \(9\) tot minimaal de \(69\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact negen negens verschijnen. \(9^{69}=6{\color{blue}{9}}61{\color{blue}{9}}860{\color{blue}{9}}1308855{\color{blue}{9}}76{\color{blue}{9}}51360215{\color{blue}{9}}354781468{\color{blue}{9}}6327163122{\color{blue}{9}}614165106645008{\color{blue}{9}}\qquad\) (OEIS A244603) | 9.40 | ||||||
| \(9=3^2~~\) en \(~~8=2^3~~\) zijn de enige machten die \(1\) verschillen. Voor deze bewering van CATALAN, zie bij | 9.41 | ||||||
Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\) | 9.42 | ||||||
De eerste keer dat er \(9\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(139\) en \(149\) | 9.43 | ||||||
Er zijn \(4\) getallen van negen cijfers die gelijk zijn aan de som van de \(negende\) macht van hun cijfers : \(912985153=9\)\(^9\)\(\,+\,1\)\(^9\)\(\,+\,2\)\(^9\)\(\,+\,9\)\(^9\)\(\,+\,8\)\(^9\)\(\,+\,5\)\(^9\)\(\,+\,1\)\(^9\)\(\,+\,5\)\(^9\)\(\,+\,3\)\(^9\) De overige drie getallen zijn : \(146511208, 472335975, 534494836\) | 9.44 | ||||||
| \(9\to41\to\) \begin{align} 1^1+2^1+6^1&=4^1+5^1\\ en&\;ook\\ 1^2+2^2+6^2&=4^2+5^2 \end{align} | 9.45 | ||||||
\(9\)\(^{9}\)\(\,=\,387420489\) is de hoogst gekende macht van \(9\) waarbij geen cijfer \(1\) voorkomt in de decimale expansie. | 9.46 | ||||||
\(9*10\)\(^{9}\)\(\,+\,1~~\) is een veralgemeend Cullen priemgetal, de derde in zijn soort (\(k*10^k+1\)). (OEIS A007647) | 9.47 | ||||||
\(2\)\(^{9}\)\(\,-\,9~~\) is een priemgetal, de derde in zijn soort. (OEIS A048744) | 9.48 | ||||||
\(2\)\(^{9}\)\(\,+\,9~~\) is een priemgetal, de vierde in zijn soort. (OEIS A052007) | 9.49 | ||||||
\(9=3^2={\Large\frac{4!\,-\,3!}{2!}}\) | 9.50 | ||||||
\(10\)\(^{9+1}\)\(\,-\,1\) is deelbaar door \(9\). (OEIS A175203) | 9.51 | ||||||
\(10^9+9\) is een priemgetal, de tweede in zijn soort (\(10^k+k\)). (OEIS A089379) | 9.52 | ||||||
\(100\)\(^{9}\)\(\,+\,9\) is een priemgetal, de derde in zijn soort (\(100^k+k\)). De reeks gaat als volgt \(k=1,3,9,49,\ldots\) | 9.53 | ||||||
Er zijn \(9\) diagonalen binnen in een reguliere zeshoek \(n=6\). Het aantal diagonalen van een veelhoek met \(n\) hoeken is als volgt te berekenen \({\Large\frac{n(n-3)}{2}}\) voor \(n\gt3\) | 9.54 | ||||||
Som der reciproken van partitiegetallen van \(9\) is \(1\) op één wijze. Dit is evenwel geen partitie met unieke termen; integendeel alle termen zijn identiek. \((1)~~9=3+3+3~~\) en \(~~1={\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{3}}+{\Large\frac{1}{3}}\) | 9.55 | ||||||
De volgende formule levert getallen die deelbaar zijn door \(9\) \(\bbox[3px,border:1px solid]{8^n-7^n+6^n-5^n+4^n-3^n+2^n-1^n}\) maar enkel op voorwaarde dat het even machten zijn. | 9.56 | ||||||
\({\color{blue}{9}}+10+11+12=13+14+15={\color{tomato}{42}}\) Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende gehele getallen. Dit is een eigenschap van de kwadraten zoals \(k=9=3^2\). De linkersom heeft \(\sqrt{k}+1\) termen en de rechtersom \(\sqrt{k}\). | 9.57 | ||||||
\(2\)\(^{9}\)\(\,-\,3\) is een priemgetal \((=509)\), de vijfde in zijn soort \((2^k-3)~~\) (OEIS A050414) | 9.58 | ||||||
| \(9\) deelt \(10\)\(^{9+1}\)\(\,-\,1\), de derde in zijn soort \((10^{k+1}-1)~~\) (OEIS A175203) | 9.59 | ||||||
\(9\)\(^{1}\)\(+9\)\(^{0}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10~~\) (OEIS A236067) | 9.60 | ||||||
Vermenigvuldiging van \(9\) met een pandigitaal getal is een binair uitziend decimaal getal (alleen cijfers \(0\) en \(1\)) | 9.61 |
| Schakelaar \(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\) “Allemaal Getallen” |
|---|
| \(9\) | \(3^2\) | \(3\) | \(13\) |
| \(1,3,9\) | |||
| \(1001_2\) | \(11_8\) | \(9_{16}\) | |
| \(9=3^2\) | |||
| Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email) Laatste update 16 november 2024 |