\(8=2^3\to\) Machten van \(2\) kunnen nooit geschreven worden als som van opeenvolgende gehele getallen \(8=3+5\) (som van opeenvolgende onpare getallen) (som van opeenvolgende priemgetallen) \(8=3+5\) (som van twee opeenvolgende Fibonaccigetallen en daardoor zelf een getal van dat type) \(\qquad\)(tevens het enige Fibonaccigetal dat een derdemacht is (het triviale geval \(1\) uitgesloten) \(8=(0;0;2;2)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#1\}\) \(8\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2-1\) \(8=1^3+2^2+3^1\) \(8=2*4=4!!\) (dubbelfaculteit → \(n!!=n*(n-2)*(n-4)*\dots\) stoppen voor eindterm \(0\) of \(1\) → \(4!!=8; 5!!=15\)) \(8=1*2+2*3\) : dus \(8\) is de som van twee pronic getallen \(8=2*2^2\) (het volgende getal met dezelfde “structuur” is \(81=3*3^3\,)\) \(8\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6+\sqrt4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\sqrt{64}\) \(8\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3~~\) (de eerste “echte” derdemacht)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3\) (tweede schrijfwijze als som van derdemachten) \(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad\)Kortom in beknopte WARING notatie \(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}((0;0;0;0;0;0;0;0;2)\,(0;1;1;1;1;1;1;1;1))\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#2\}\) \(8\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[peachpuff,3px]{2^2+2^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^4][4^2]-2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}312^2-46^3\) | 8.1 | |
\(8\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten) \(\qquad\)Er zijn heel veel mogelijke oplossingen ! Cfr. machten \(2^4, 3^3, \ldots\) \(\qquad\)References Sum of Three Cubes \(\qquad\)Vertegenwoordigt n het product van een kubusgetal \(k^3\) en een getal \(m\), dan erft dit getal \(n\) alle oplossingen \(\qquad\)van het getal \(m\) op de volgende manier: \(\qquad m=x^3+y^3+z^3~~\to~~ n=k^3m=k^3(x^3+y^3+z^3)~~\to~~n=k^3m=(kx)^3+(ky)^3+(kz)^3\) \(8\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten) \(\qquad\bbox[3px,border:1px blue solid]{18^5+(-38)^5+65^5+71^5+(-78)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\) | 8.2 | |
\(8\) schrijven met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \(4\) : \(~~2+3+4-1~~=~~4^2/(3-1)~~=~~\sqrt4*(3-1)^2~~=~~\) Vindt jij er meer ? | 8.3 | |
Eén getal is gelijk aan \(8\) maal de som van de cijfers : \(72=8*(7+2)\) Zie ook bij en | 8.4 | |
\(8^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(64\) \(8^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(512\) | 8.5 | |
\(8^3=512~~\) en \(~~5+1+2=8~~\) Andere voorbeelden vindt men onderaan in de 'Wetenswaard' rubriek \(8^3=\underline{512}~~\) en \(~~5^3=\underline{125}~~\) bevatten dezelfde cijfers. | 8.6 | |
\(8\) als som van twee priemgetallen (bovendien zijn beide getallen oneven) : $$ 2\;odd\;primes \left[ \begin{matrix} \\ &3&+&5\\ \\ \end{matrix} \right. $$ \(8\) als som van drie en vier priemgetallen :$$ 3\;\&\;4\;primes \left[ \begin{matrix} &2&+&3&+&3\\ \\ &2&+&2&+&2&+&2\\ \end{matrix} \right. $$ | 8.7 | |
\(8\) kan niet geschreven worden als som van verschillende driehoeksgetallen. Zie voor meer toelichting bij | 8.8 | |
Voor de bewering van CATALAN, zie bij | 8.9 | |
\(8*(A+B)=A*B\) heeft vier oplossingen in gehele getallen : \(8*(9+72)=9*72~~\);\(~~8*(10+40)=10*40~~\);\(~~8*(12+24)=12*24~~\)en\(~~8*(16+16)=16*16\) | 8.10 | |
“Acht” is samen met “een” het enige getal in het Nederlands waarvan de letters in alfabetische volgorde staan (zie ook bij ). In het Engels is er “Forty” met dezelfde eigenschap. Het Frans is goed bedeeld met “Deux”, “Cinq”, en zelfs uitdrukkingen als “Deux * cinq = dix” en “dix * dix = cent”. | 8.11 | |
\(8\) schrijven met behulp van identieke cijfers : \((7+7/7)!/7!\) | 8.12 | |
Van de \(25\) priemgetallen tussen \(1\) en \(100\) zijn er \(8\) paren van priemtweelingen : \((3,5);(5,7);(11,13);(17,19);(29,31);(41,43);(59,61);(71,73)\) | 8.13 | |
Er zijn \(4\) priemgetallen die kleiner dan \(8\) zijn : \(2,3,5\) en \(7\). Van alle getallen die kleiner dan \(8\) zijn, zijn er eveneens \(4\) die met \(8\) relatief priem zijn (hun grootste gemene deler is \(1\)), namelijk \(1,3,5\) en \(7\). Zoals het getal \(8\) zijn er nog \(6\) andere getallen met deze eigenschap : \(2,3,4,14,20\) en \(90\). Zie ook bij deze getallen | 8.14 | |
\(8\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (liefst \(46\) oplossingen) : \(25496/3187=36712/4589=36728/4591=37512/4689=37528/4691=38152/4769=41896/5237=\) \(42968/5371=46312/5789=46328/5791=46712/5839=47136/5892=47328/5916=47368/5921=\) \(51832/6479=53928/6741=54312/6789=54328/6791=54712/6839=56984/7123=58496/7312=\) \(58912/7364=59328/7416=59368/7421=63152/7894=63528/7941=65392/8174=65432/8179=\) \(67152/8394=67352/8419=67512/8439=71456/8932=71536/8942=71624/8953=71632/8954=\) \(73248/9156=73264/9158=73456/9182=74528/9316=74568/9321=74816/9352=75328/9416=\) \(75368/9421=76184/9523=76248/9531=76328/9541=8\) \(8\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(16\) oplossingen) : \(83672/10459=83752/10469=84296/10537=84632/10579=84736/10592=85392/10674=\) \(85432/10679=85936/10742=86352/10794=87456/10932=87536/10942=87624/10953=\) \(87632/10954=96584/12073=98456/12307=98760/12345=8\) | 8.15 | |
\(8={\Large\frac{1\;*\;2\;*\;3\;*\;4\;*\;5}{1~+~2~+~3~+~4~+~5}}~~\) (OEIS A108552) \(8={\Large\frac{4\;*\;5\;*\;6}{4~+~5~+~6}}\) \(8=1+1+2+4=1*1*2*4\) maar ook \(8=1+1+2+2+2=1*1*2*2*2\) | 8.16 | |
Pannumerieke uitdrukking : \(8=1+7=4*2=(9-5)*(6/3)\) Een toemaatje : met \(0\) erbij kan men het volgende resultaat bekomen : \(8=(9+7)/2=5+3=6+1+4^0\) waarbij \(4^0=1\) is. Een andere pandigitale vorm is : \(8=9-1=7+6-5=3*2+\sqrt4\) En voor wie hier de \(0\) mist kan men die ongemerkt als exponent toevoegen door \(9-1\) te vervangen door \(9-1^0\) Een derde mogelijkheid is : \(8=5+3=7+1=9-4+6/2\) | 8.17 | |
De volgende getallen behouden dezelfde cijfers na vermenigvuldiging met \(8\) : \begin{align} 11498*8&=91984\\ 113967*8&=911736\\ 114898*8&=919184 \end{align} | 8.18 | |
Links en rechts van het \(=\) teken staan dezelfde cijfers : \begin{align} 8*86&=688\\ 8*473&=3784 \end{align} | 8.19 | |
\(8^8=16777216\) en het omgekeerde getal \(61277761\) is een priemgetal. | 8.20 | |
Het getal \(12345679\) (dus ZONDER de \(8\) of 'octamanco') wordt het getal van Lewis CARROLL genoemd. | 8.21 | |
Een pare macht van \(8\), verminderd met \(1\), is een veelvoud van \(63\) : bvb. \(8^6-1=262143=63*4161\) Een onpare macht van \(8\), verminderd met \(1\), is een veelvoud van \(7\) : bvb. \(8^5-1=32767=7*4681\) | 8.22 | |
Als som met de vier operatoren \(+-*\;/\) \(8=(2+1)+(2-1)+(2*1)+(2/1)\) | 8.23 | |
Er zijn twee rechthoekige driehoeken met gehele zijden en \(8\) als één van de zijden : \((6;8;10),(8;15;17)\) | 8.24 | |
Enkele getallenpiramides
\begin{align} 123456789*8+9&=987654321\\ 12345678*8+8&=98765432\\ 1234567*8+7&=9876543\\ 123456*8+6&=987654\\ 12345*8+5&=98765\\ 1234*8+4&=9876\\ 123*8+3&=987\\ 12*8+2&=98\\ 1*8+1&=9 \end{align} \begin{align} 8*8+13&=77\\ 8*88+13&=717\\ 8*888+13&=7117\\ 8*8888+13&=71117\\ 8*88888+13&=711117\\ \cdots&=\cdots \end{align} \begin{align} 88&=9*9+7\\ 888&=9*98+6\\ 8888&=9*987+5\\ 88888&=9*9876+4\\ 888888&=9*98765+3\\ 8888888&=9*987654+2\\ 88888888&=9*9876543+1\\ 88888888&=9*98765432+0\\ 888888888&=9*987654321-1\\ \cdots&=\cdots \end{align} \begin{align} 8*12+2&=98\\ 8*123+3&=987\\ 8*1234+4&=9876\\ 8*12345+5&=98765\\ \cdots&=\cdots \end{align} \begin{align} 11111111*88888888&=987654301234568\\ 1111111*8888888&=9876541234568\\ 111111*888888&=98765234568\\ 11111*88888&=987634568\\ 1111*8888&=9874568\\ 111*888&=98568\\ 11*88&=968\\ 1*8&=8 \end{align} \begin{align} 8*8+13&=77\\ 88*8+13&=717\\ 888*8+13&=7117\\ 8888*8+13&=71117\\ 88888*8+13&=711117\\ 888888*8+13&=7111117\\ 8888888*8+13&=71111117\\ \cdots&=\cdots \end{align} | 8.25 | |
Volgens het theorema van WARING kunnen alle gehele getallen voorgesteld worden als de som van ten hoogste negen derdemachten. De meeste getallen kunnen voorgesteld worden als de som van \(8\) derdemachten. Er zijn slechts twee uitzonderingen : voor \(23\) en \(239\) zijn negen derdemachten nodig. Zie ook | 8.26 | |
Om een vierkant in scherphoekige driehoeken te verdelen zijn minimaal \(8\) driehoeken nodig. (Webbron van de afbeelding) Zie ook voor het geval met gelijkbenige driehoeken. | 8.27 | |
Een horizontaal geplaatste \(8\) is het teken voor oneindig : \(\large{\infty}\) | 8.28 | |
EEN PUZZEL
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\) | 8.29 | |
EEN PUZZEL
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\) | 8.30 | |
WETENSWAARD
\(8^3=512\) en de som van de cijfers \(5+1+2=8\) is terug het grondtal. Naast \(8\) zijn nog vijf andere getallen met | 8.31 | |
\(8\approx\Large{987654321\over123456789}\) omdat de deling gelijk is aan \(8.0000000729000006633900060368490549353\ldots\) Maar verwissel de twee laatste cijfers van de teller en we bekomen wel degelijk \(8=\Large{9876543\color{blue}{12}\over123456789}\) | 8.32 | |
Men moet \(8\) tot minimaal de \(55\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact acht achten verschijnen. \(8^{55}=4676{\color{blue}{8}}0523945{\color{blue}{888}}933{\color{blue}{8}}251791464692105662{\color{blue}{8}}9{\color{blue}{8}}9{\color{blue}{8}}41375232\qquad\) (OEIS A244603) | 8.33 | |
Er zijn \(3\) getallen van acht cijfers die gelijk zijn aan de som van de \(achtste\) macht van hun cijfers : \(24678050=2\)\(^8\)\(\,+\,4\)\(^8\)\(\,+\,6\)\(^8\)\(\,+\,7\)\(^8\)\(\,+\,8\)\(^8\)\(\,+\,0\)\(^8\)\(\,+\,5\)\(^8\)\(\,+\,0\)\(^8\) De overige twee getallen zijn : \(24678051,88593477\) | 8.34 | |
Alle getallen van \(1\) tot \(8\) worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze gelijkheden van producten van machten. Verdeelsleutels \([1-3]\) en \([2-2]\) leveren elk \(2\) zuivere oplossingen maar door het feit dat \({\color{tomato}{1}}^n\) als invariante kan switchen van links naar rechts zijn het eigenlijk dezelfde oplossingen. \begin{align} 4^7&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{tomato}{1^6}}*2^5*8^3\\ 8^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{tomato}{1^7}}*2^3*4^6\\ \\ {\color{tomato}{1^6}}*4^7&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^5*8^3\\ {\color{tomato}{1^7}}*8^5&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3*4^6\\ \end{align} | 8.35 | |
\(8*10\)\(^{8}\)\(\,-\,1~~\) is een veralgemeend Woodall priemgetal, de derde in zijn soort (\(k*10^k-1\)). | 8.36 | |
\(8\) en \(9\) zijn het enige paar van opeenvolgende gehele getallen die ook niet triviale machten van gehele getallen zijn, | 8.37 | |
John Baez uit California geeft een lezing aan de universiteit van Glasgow over het getal \(8\), één van zijn favorieten. | 8.38 | |
\(8!!-1~~\)is een priemgetal van \(3\) cijfers lang (\(383\)). (OEIS A007749) (Dubbelfaculteit) Pari/GP code : isprime(prod(i=1,8/2,2*i)-1) → 1 (true) | 8.39 | |
\(8\) is de som van de 'som der delers' van de getallen van \(1\) tot \(3\) : \((1)+(1+2)+(1+3)\) | 8.40 | |
Som der reciproken van partitiegetallen van \(8\) levert nooit \(1\) op. Bijgevolg ook geen partities met unieke termen. | 8.41 | |
\(8\)\(^{1}\)\(+8\)\(^{0}\)\(+8\)\(^{3}\)\(+8\)\(^{3}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1033\to\) en tevens een priemgetal\(~~\) (OEIS A236067) | 8.42 |
Schakelaar \(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\) “Allemaal Getallen” |
---|
\(8\) | \(2^3\) | \(4\) | \(15\) |
\(1,2,4,8\) | |||
\(1000_2\) | \(10_8\) | \(8_{16}\) | |
\(F(6)=8\) | \(8=2^3\) |
Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email) Laatste update 14 september 2024 |