$7=3+4$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$7=1+1+2+3$ (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

$7\mathbf{=}4+3\mathbf{=}{4}^2-3^2$

$7=\frac{1^3+3^3}{1+3}$ (OEIS A056220)

$7=(1;1;1;2)➋\to \{\mathrm{\#}1\}$

$7\mathbf{=}{1}^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3\mathbf{=}(0;0;1;1;1;1;1;1;1)➌\to \{\mathrm{\#}1\}$

$7\mathbf{=}3!+1!\mathbf{=}10!/(6!{)}^2$

$7\mathbf{=}{2}^3-1$

$7\mathbf{=}[2^4][4^2]-3^2\mathbf{=}{2}^5-5^2\mathbf{=}{2}^7-{11}^2\mathbf{=}[2^{15}][8^5][{32}^3]-{181}^2$

$(2^{15}-{181}^2$ → de eerste term kan vervangen worden door $8^5$ of door ${32}^3$ vermits $2^{15}=8^5={32}^3=32768$ )

$7\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$18$ oplossingen bekend

$$References Sum of Three Cubes

$7\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$oplossingonbekend\mathbf{=}(z>200)$

$7^1+1=8=2\ast 2^2$ en $7^2+1=50=2\ast 5^2$ (een dergelijk patroon komt alleen bij $7$ voor)

$7^0+7^1+7^2+7^3={20}^2$

$7^2\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $49$

$7^3\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $343$

$7^2\mathbf{=}{5}^2+5^2-1^2\mathbf{=}{2}^2+3^2+6^2\mathbf{=}{1}^2+4^2+4^2+4^2$

$7^3\mathbf{=}343\mathbf{=}(3+4{)}^3$

$7^3={18}^0+{18}^1+{18}^2$

$7^4={157}^4+{227}^4-{239}^4$ (het kleinste gekende priemgetal wiens vierdemacht van de vorm $(p_1{)}^4+(p_2{)}^4-(p_3{)}^4$ is)

Vier getallen zijn gelijk aan $7$ maal de som van hun cijfers : $21,42,63$ en $84$ ( 21.3 42.5 63.3 84.3 )

Bvb. met $63$ is $63=7\ast (6+3)$.

Merk ook op dat het omgekeerde van die vier getallen ($12,24,63$ en $48$) een analoog patroon (maar nu '$4$ maal de som')

vertoont. Zie ook bij 4.4

De volgende getallen behouden dezelfde cijfers na vermenigvuldiging met $7$ :
$$\begin{array}{rl}1359\ast 7& =9513\\ 11688\ast 7& =81816\\ 11883\ast 7& =83181\end{array}$$

Er zijn $4$ getallen van zeven cijfers die gelijk zijn aan de som van de $zevende$ macht van hun cijfers :

$1741725=1$${}^7$$+7$${}^7$$+4$${}^7$$+1$${}^7$$+7$${}^7$$+2$${}^7$$+5$${}^7$

De overige drie getallen zijn : $4210818,9800817,9926315$

(OEIS A124068)

Hier is een getal van acht cijfers gelijk aan de som van de $zevende$ macht van hun cijfers :

$14459929=1$${}^7$$+4$${}^7$$+4$${}^7$$+5$${}^7$$+9$${}^7$$+9$${}^7$$+2$${}^7$$+9$${}^7$

$$\begin{array}{rl}142857\ast 2& =285714\\ 142857\ast 3& =428571\\ 142857\ast 4& =571428\\ 142857\ast 5& =714285\\ 142857\ast 6& =857142\end{array}$$

Een gevolg van het patroon $1/7=0,142857\dots$ is deze piramidale structuur :
$$\begin{array}{rl}1\ast 7+3& =10\\ 14\ast 7+2& =100\\ 142\ast 7+6& =1000\\ 1428\ast 7+4& =10000\\ 14285\ast 7+5& =100000\\ 142857\ast 7+1& =1000000\\ 1428571\ast 7+3& =10000000\\ 14285714\ast 7+2& =100000000\\ 142857142\ast 7+6& =1000000000\\ 1428571428\ast 7+4& =10000000000\\ 14285714285\ast 7+5& =100000000000\\ 142857142857\ast 7+1& =1000000000000\\ 1428571428571\ast 7+3& =10000000000000\\ \cdots & =\cdots \end{array}$$

$$\begin{array}{r}7\\ 7\mathbf{3}\\ 73\mathbf{9}\\ 739\mathbf{3}\\ 7393\mathbf{9}\\ 73939\mathbf{1}\\ 739391\mathbf{3}\\ 7393913\mathbf{3}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}357686312646216567629137& \\ 57686312646216567629137& \\ 7686312646216567629137& \\ 686312646216567629137& \\ \cdots \cdots & \\ 137& \\ 37& \\ 7\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}4\ast 7& =28\\ 34\ast 67& =2278\\ 334\ast 667& =222778\\ 3334\ast 6667& =22227778\\ 33334\ast 66667& =2222277778\end{array}$$

$Opgave$
Het volgende raadsel komt reeds voor in een Egyptische papyrus (Rhind papyrus) van meer dan $2500$
jaar oud. Het raadsel is vooral in de Engelse versie bekend; ernaast staat een vrije vertaling :

$Oplossing$
Maakt men de som dan vindt men : $1$ man + $7$ vrouwen $+(7\ast 7)=49$ zakken $+(7\ast 7\ast 7)=343$ katten
$+(7\ast 7\ast 7\ast 7)=2401$ kittens of in totaal $2801$.
Maar$\dots$ als ik op weg ben naar Spouwen en ik kom de man met vrouwen enz. tegen, dan is die man NIET
op weg naar Spouwen. Dus het antwoord is simpel : $1$ persoon, nl. ikzelf ben op weg naar Spouwen !

$Opgave$
Drie personen moeten een aantal flessen waarvan sommige met wijn gevuld zijn, verdelen.
Er zijn $7$ volle flessen, $7$ halfvolle en $7$ lege flessen. Het is de bedoeling dat ieder evenveel ontvangt
(zowel flessen als wijn). Hoe moet de verdeling gebeuren ?
$Oplossing$
Er zijn $7$ volle en $7$ halfvolle flessen, dit komt overeen met $14+7=21$ halfvolle flessen.
Ieder krijgt dus een hoeveelheid die overeenkomt met $7$ halfvolle flessen of $3,5$ flessen. Dus ieder moet
minstens één halve fles krijgen. De halve flessen moeten zodanig verdeeld worden dat er een oneven
aantal halve flessen per persoon zijn (anders kunnen we niet met een halve fles eindigen). De verdeling
begint dus bvb. als volgt :

In het numerieke klavier van bvb. een smartphone of rekenmachientje zit de tafel van vermenigvuldiging van $7$ verborgen.
Het klavier ziet er als volgt uit :

$$2\mathrm{\&}3primes[\begin{array}{cccc}& 2& +& 5\\ \\ & 2& +& 2& +& 3\end{array}$$

De eerste keer dat er $7$ opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen $89$ en $97$
met aldus een priemkloof van $8.$ (OEIS A000101.pdf)

$7!-1$ is een priemgetal $(=5039)$, de vierde in zijn soort $(k!-1)$ (OEIS A002982)

$\sigma (7)=8=2^3$ (som der delers is een derdemacht) (OEIS A020477)

Via deze Numberphile YouTube Video Why 7 is Weird - Numberphile kom je te weten via James Grime of een getal deelbaar is door $7$.

$F(7)=13$is een Fibonacci priemgetal. (OEIS A001605) (OEIS A005478)

$7$${}^7$$-2$ is een priemgetal, de tweede in zijn soort ($k^k-2$). (OEIS A100408)

De volgende formule levert getallen die deelbaar zijn door $7$

$6^n-5^n+4^n-3^n+2^n-1^n$

maar enkel op voorwaarde dat het even machten zijn.

$\begin{array}{r}7\mathbf{=}{\left(\frac{2}{1}\right)}^3-{\left(\frac{1}{1}\right)}^3\mathbf{=}{\left(\frac{4}{3}\right)}^3+{\left(\frac{5}{3}\right)}^3\mathbf{=}{\left(\frac{73}{38}\right)}^3-{\left(\frac{17}{38}\right)}^3\end{array}$

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

$(x^3+y^3)/z^3=n\to$ [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen $\to$ [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

$2$${}^7$$+3$ is een priemgetal $(=131)$, de zesde in zijn soort $(2^k+3)$ (OEIS A057732)

$2$${}^{7-1}$$+7$ is een priemgetal $(=71)$, de derde in zijn soort $(2^{k-1}+k)$ (OEIS A061422)

Som der reciproken van partitiegetallen van $7$ levert nooit $1$ op.

Bijgevolg ook geen partities met unieke termen.

(OEIS A028229) (OEIS A125726)

$7!+2$${}^7$$-1$ is een priemgetal $(=5167)$, de vijfde in zijn soort $(k!+2^k-1)$ (OEIS A186449)

$7$${}^1$$+7$${}^3$$+7$${}^1$$+7$${}^7$$+7$${}^7$$+7$${}^3$$+7$${}^8$$+7$${}^8$$\mathbf{=}13177388$ (OEIS A236067)

$7=$ceil(sqrt(sqrt(sqrt(sqrt(sqrt(sqrt(sqrt(ceil(sqrt($7$!))!)))))))) in Pari/GP code

$7=$$\lceil$$\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\lceil \sqrt{7!}\rceil !}}}}}}$$\rceil$

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^7$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left({18}^7\right)=18sdc\left({27}^7\right)=27sdc\left({31}^7\right)=31$

$sdc\left({34}^7\right)=34sdc\left({43}^7\right)=43sdc\left({53}^7\right)=53$

$sdc\left({58}^7\right)=58sdc\left({68}^7\right)=68$
(OEIS A226971)

$7+8+9+10+11+12+\cdots +114+115+116+117+118+119=7$^^$119=7119$
(OEIS A186074)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$7=(1+1)\ast (1+1+1)+1$
$7=2+2+2+2/2$
$7=3+3+3/3$
$7=4+4-4/4$
$7=5+(5+5)/5$
$7=6+6/6$
$7=7$
$7=8-8/8$
$7=9-(9+9)/9$

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$7=1+23-4+56-78+9$
$7=98-7-6-54-3-21$

Een zevende macht dat gelijk is aan de som van zeven andere zevende machten!
Gevonden door Mark Dodrill in $1999$.
${568}^7\mathbf{=}{127}^7+{258}^7+{266}^7+{413}^7+{430}^7+{439}^7+{525}^7\mathbf{=}19073849430410002432$

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$