Allemaal Getallen Index 0007

$7=3+4$ (som van opeenvolgende gehele getallen)

$7=1+1+2+3$ (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

$7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^2-3^2$

$7={\Large\frac{\,1^3+3^3}{1\,+\,3}}$ (OEIS A056220)

$7=(1;1;1;2)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#1\}$

$7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(0;0;1;1;1;1;1;1;1)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}$

$7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3!+1!\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10!/(6!)^2$

$7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3-1$

$7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{[2^4][4^2]-3^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[tan,3px]{2^5-5^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^7-11^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^{15}][8^5][32^3]-181^2$

$\qquad(~2^{15}-181^2$ → de eerste term kan vervangen worden door $8^5$ of door $32^3$ vermits $2^{15}=8^5=32^3=32768$ )

7.1

$7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$(som van drie derdemachten)

$\qquad18$ oplossingen bekend

$\qquad$References Sum of Three Cubes

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{0^3+(-1)^3+2^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{32^3+104^3+(-105)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{44^3+168^3+(-169)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{(-605809)^3+(-680316)^3+812918^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{1374870^3+5547575^3+(-5575582)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{1124657^3+6137561^3+(-6150123)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{13010655^3+14144042^3+(-17136136)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{(-101429158)^3+(-132641670)^3+150032039^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{1034817722^3+2085067487^3+(-2166785964)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{316143303^3+3373082402^3+(-3374007862)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{(-6427544172)^3+(-7657432774)^3+8940123359^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{9371950802^3+26600822975^3+(-26983077576)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{26361760320^3+65034768671^3+(-66447663334)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{83586276165^3+265028377793^3+(-267771290215)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{4199422931672^3+6574314162612^3+(-7101975822889)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{10148032003454^3+34517283607023^3+(-34807223588524)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{(-3232871681403)^3+(-50427467704543)^3+50431896357881^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{(-61605392145082)^3+(-168218632243945)^3+170928876351450^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$

$7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}$(som van vijf vijfdemachten)

$\qquad\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)$

7.2

$7^1+1=8=2*2^2~~$ en $~~7^2+1=50=2*5^2~~$ (een dergelijk patroon komt alleen bij $7$ voor)

$7^0+7^1+7^2+7^3=20^2$

7.3

$7=9-2~~$ en $~~77=9^2-2^2$
$7=\root{\raise3pt{\large4}}\of{2401}~~$ en $~~2+4+0+1=7$

7.4

Probleem van BROCARD : $7!+1=5041=71^2$ (zie voor meer uitleg bij )

7.5

$7^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $49$

$7^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $343$

7.6

$7^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2+5^2-1^2~~\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}~~2^2+3^2+6^2~~\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}~~1^2+4^2+4^2+4^2$

$7^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}343\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(3+4)^3$

$7^3=18^0+18^1+18^2$

$7^4=157^4+227^4-239^4$ (het kleinste gekende priemgetal wiens vierdemacht van de vorm $(p_1)^4+(p_2)^4-(p_3)^4$ is)

7.7

Vier getallen zijn gelijk aan $7$ maal de som van hun cijfers : $21,42,63$ en $84~~$ ( )

Bvb. met $63$ is $63=7*(6+3)$.

Merk ook op dat het omgekeerde van die vier getallen ($12,24,63$ en $48$) een analoog patroon (maar nu '$4$ maal de som')

vertoont. Zie ook bij

7.8

Het getal $7$ is het enige onpare getal dat niet bekomen kan worden door het verschil van twee priemgetallen te maken.

7.9

$1/2+\Large{\left[\frac{1/3}{(1/4\,*\,1/5)}\right]}$$-1/6=7$ (de breuk tussen [ ] is gelijk aan $20/3)$

7.10

$7$ is het enige priemgetal dat gevolgd wordt door een derdemacht in de rij der natuurlijke getallen.

7.11

$7*(A+B)=A*B$ heeft twee oplossingen in gehele getallen :
$~~7*(8+56)=8*56~~$ en $~~7*(14+14)=14*14$

7.12

$7$ is een zogenaamd gelukkig getal (happy number) en wel het kleinste als men het triviale geval $1$
uitsluit. Voor een gelukkig getal berekent men de som van de kwadraten van de cijfers en men herhaalt
dit; als men op $1$ uitkomt, dan is het oorspronkelijke getal een gelukkig getal.
Voor $7$ heeft men de volgende berekening :
$7$ → $7^2=49$ → $4^2+9^2=97$ → $9^2+7^2=130$ → $1^2+3^2+0^2=10$ → $1^2+0^2=\large1$

7.13

Een zescijferig getal van de vorm ${\small\text{ABCABC}}$ (een tautonymisch getal) is steeds deelbaar door $7$
(zie voor meer details bij ) :
bvb. $269269/7=38467$

7.14

$4^a-3^a$ is deelbaar door $7$ op voorwaarde dat $a$ een even getal is,
bvb. $4^6-3^6=481*7$

7.15

Het kleinste getal waarbij $4$ kwadraten nodig zijn volgens de stelling van LAGRANGE (meer uitleg bij )
$7=(1;1;1;2)=1^2+1^2+1^2+2^2$

7.16

De ogen aan weerszijden van een standaard dobbelsteen tellen altijd samen op tot $7$.

7.17

De volgende getallen behouden dezelfde cijfers na vermenigvuldiging met $7$ :
\begin{align} 1359*7&=9513\\ 11688*7&=81816\\ 11883*7&=83181 \end{align}

7.18

Er zijn $4$ getallen van zeven cijfers die gelijk zijn aan de som van de $zevende$ macht van hun cijfers :

$1741725=1$$^7$$\,+\,7$$^7$$\,+\,4$$^7$$\,+\,1$$^7$$\,+\,7$$^7$$\,+\,2$$^7$$\,+\,5$$^7$

De overige drie getallen zijn : $4210818,9800817,9926315$

(OEIS A124068)

Hier is een getal van acht cijfers gelijk aan de som van de $zevende$ macht van hun cijfers :

$14459929=1$$^7$$\,+\,4$$^7$$\,+\,4$$^7$$\,+\,5$$^7$$\,+\,9$$^7$$\,+\,9$$^7$$\,+\,2$$^7$$\,+\,9$$^7$

7.19

$1/7 = 0,142857\ldots$ waarbij het getal $142857$ na vermenigvuldiging met $2,3,4,5$ of $6$ steeds dezelfde cijfers
als het oorspronkelijke getal vertoont in een wisselende cyclische volgorde :

\begin{align} 142857*2&=285714\\ 142857*3&=428571\\ 142857*4&=571428\\ 142857*5&=714285\\ 142857*6&=857142 \end{align}

Het patroon wordt onderbroken na vermenigvuldiging met $7\to142857*7=999999$
Deze merkwaardige eigenschap is afkomstig van het feit dat de decimale ontwikkeling van $1/7$ een lengte
heeft van $(7-1)=6$. In het algemeen doet zich een gelijkaardig patroon voor als de breuk $1/n$ een
decimale ontwikkeling heeft van lengte $(n-1)$. Het volgende getal met deze eigenschap is $17$.
Zie bij maar ook .

7.20

Een gevolg van het patroon $1/7=0,142857\ldots$ is deze piramidale structuur :
\begin{align} 1*7+3&=10\\ 14*7+2&=100\\ 142*7+6&=1000\\ 1428*7+4&=10000\\ 14285*7+5&=100000\\ 142857*7+1&=1000000\\ 1428571*7+3&=10000000\\ 14285714*7+2&=100000000\\ 142857142*7+6&=1000000000\\ 1428571428*7+4&=10000000000\\ 14285714285*7+5&=100000000000\\ 142857142857*7+1&=1000000000000\\ 1428571428571*7+3&=10000000000000\\ \cdots&=\cdots \end{align}

7.21

Als $2*A=5*B$ dan is de som $A+B$ een veelvoud van $7$. Voorbeeld : $2*\mathbf{10}=5*\mathbf4$ en $10+4=14$

7.22

Voor een bijzondere eigenschap van $7$, zie bij (OEIS 039669)

7.23

Er is één rechthoekige driehoek met gehele zijden en $7$ als één van de zijden : $(7;24;25)$

7.24

Tangram is een puzzel waarbij $7$ geometrische vormen ($5$ driehoeken, $1$ vierkant en $1$ parallellogram)
kunnen samengevoegd worden tot allerhande figuren (mensen, dieren, voorwerpen, abstracte vormen, $\ldots$)
De puzzel heeft hoogst waarschijnlijk een Chinese oorsprong maar is over de ganse wereld bekend.
Zie ook de gelijkaardige puzzel Stomachion bij .

7.25

De volgende reeks zijn allemaal priemgetallen, waarbij steeds het rechtse cijfer wordt bijgevoegd :

\begin{align} 7\\ 7\mathbf{3}\\ 73\mathbf{9}\\ 739\mathbf{3}\\ 7393\mathbf{9}\\ 73939\mathbf{1}\\ 739391\mathbf{3}\\ 7393913\mathbf{3} \end{align}

7.26

De volgende reeks zijn allemaal priemgetallen, waarbij steeds het voorste cijfer wordt weggelaten :
(enkel de eerste en laatste getallen worden weergegeven)

\begin{align} 357686312646216567629137&\\ 57686312646216567629137&\\ 7686312646216567629137&\\ 686312646216567629137&\\ \cdots\cdots&\\ 137&\\ 37&\\ 7 \end{align}

7.27

Ook allemaal priemgetallen :
\begin{align} 9999907&\\ 999907&\\ 99907&\\ 9907&\\ 907&\\ 07&\\ \end{align} Maar het grotere getal $99999907=7*19*751879$ is dus geen priemgetal.

7.28

Vier zeshoeken kunnen op $zeven$ verschillende wijzen aan elkaar worden aangesloten waarbij iedere
zeshoek ten minste één zijde gemeenschappelijk heeft met een andere zeshoek (OEIS A000228).
Deze arrangementen, die allemaal een naam hebben gekregen, zijn ook gekend als 'tetrahexes'. (Wikipedia)

Staaf

Pistool

Worm

Bij

Propeller

Boog

Golf

⬣

7.29

Piramidegetallen : drie variaties

\begin{align} 9*7&=63\\ 99*7&=693\\ 999*7&=6993\\ 9999*7&=69993\\ 99999*7&=699993\\ 999999*7&=6999993\\ 9999999*7&=69999993 \end{align}

\begin{align} 9*7&=63\\ 99*67&=6633\\ 999*667&=666333\\ 9999*6667&=66663333\\ 99999*66667&=6666633333 \end{align}

\begin{align} 4*7&=28\\ 34*67&=2278\\ 334*667&=222778\\ 3334*6667&=22227778\\ 33334*66667&=2222277778 \end{align}

7.30

Om het getal $101449275362318840579\mathbf7$ met $7$ te vermenigvuldigen volstaat het om de laatste $7$
vooraan te schrijven en de rest van het getal te kopiëren : het resultaat is $\mathbf7101449275362318840579$

7.31

$7$ als resultaat met breuken waarin de cijfers van $1$ tot $9$ exact één keer voorkomen : ($7$ oplossingen) :
$16758/2394=18459/2637=31689/4527=36918/5274=37926/5418=41832/5976=53298/7614=7$

$7$ als resultaat met breuken waarin de cijfers van $0$ tot $9$ exact één keer voorkomen : ($1$ oplossing) :
$98532/14076=7$

7.32

Bij de vermenigvuldigingen $~~7*4093=28651~~$ en $~~7*9304=65128~~$ en $~~7*9403=65821$
worden de cijfers van $0$ tot $9$ telkens één maal gebruikt.

7.33

Er bestaan $7$ verschillende ééndimensionale symmetrie-groepen, ook gekend als strookpatroongroepen
(Engels : frieze groups) (Wikipedia).

7.34

$7$ is ook het aantal bruggen in Königsberg. In de stad Königsberg (het huidige Kaliningrad) vormt de
rivier Pregel een eiland midden in de stad. Een aantal bruggen verbindt de oevers met het eiland.
Ondanks vele pogingen slaagde men er nooit in om een circuit af te leggen waarbij men alle bruggen één
maal aandeed en terug op het beginpunt kwam. De beroemde wiskundige Leonhard EULER toonde aan
dat het bedoelde traject onder die voorwaarden onmogelijk was en gaf zo de aanzet voor de grafentheorie.

7.35

Om een stomphoekige driehoek (= een driehoek waarvan één van de hoeken meer dan 90° is) te
verdelen in scherphoekige driehoeken (= driehoeken met elke hoek kleiner dan 90°) zijn minimaal $7$
scherphoekige driehoeken nodig. Teken een vijfhoek waarvan twee zijden overeenkomen met een deel
van de beide zijden van de driehoek rond de stompe hoek; het centrale gedeelte van de overstaande
zijde is ook een zijde van de vijfhoek; de twee overige zijden bepalen reeds twee scherphoekige
driehoeken in de oorspronkelijke stomphoekige driehoek. Neem een centraal punt in de vijfhoek en
verbind met de vijf hoekpunten van de vijfhoek. Dit levert nogmaals vijf scherphoekige driehoeken.

7.36

Ga naar voor een merkwaardigheid met vierdemachten en een $7$.

7.37

EEN PUZZEL

$\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}$
Het volgende raadsel komt reeds voor in een Egyptische papyrus (Rhind papyrus) van meer dan $2500$
jaar oud. Het raadsel is vooral in de Engelse versie bekend; ernaast staat een vrije vertaling :

As I was going to Saint Ives
I met a man with seven wives
Each wife had seven sacks
Each sack had seven cats
Each cat had seven kits
Man, kits, cats, sacks and wives
How many were going to Saint Ives ?

Toen ik op weg was naar Spouwen
Ontmoette ik een man met zeven vrouwen
Elke vrouw had zeven zakken
In elke zak zaten zeven katten
Zeven kittens had elke kat
Man, kittens, katten, zakken en vrouwen
Hoeveel waren er op weg naar Spouwen ?

$\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}$
Maakt men de som dan vindt men : $1$ man + $7$ vrouwen $+\,(7*7)=49$ zakken $\,+\,(7*7*7)=343$ katten
$+~(7*7*7*7)=2401$ kittens of in totaal $2801$.
Maar$\dots\,$ als ik op weg ben naar Spouwen en ik kom de man met vrouwen enz. tegen, dan is die man NIET
op weg naar Spouwen. Dus het antwoord is simpel : $1$ persoon, nl. ikzelf ben op weg naar Spouwen !

7.38

EEN PUZZEL

$\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}$
Drie personen moeten een aantal flessen waarvan sommige met wijn gevuld zijn, verdelen.
Er zijn $7$ volle flessen, $7$ halfvolle en $7$ lege flessen. Het is de bedoeling dat ieder evenveel ontvangt
(zowel flessen als wijn). Hoe moet de verdeling gebeuren ?
$\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}$
Er zijn $7$ volle en $7$ halfvolle flessen, dit komt overeen met $14+7=21$ halfvolle flessen.
Ieder krijgt dus een hoeveelheid die overeenkomt met $7$ halfvolle flessen of $3,5$ flessen. Dus ieder moet
minstens één halve fles krijgen. De halve flessen moeten zodanig verdeeld worden dat er een oneven
aantal halve flessen per persoon zijn (anders kunnen we niet met een halve fles eindigen). De verdeling
begint dus bvb. als volgt :

1° persoon : $1$ halve fles

2° persoon : $3$ halve flessen = $1,5$ flessen

3° persoon : $3$ halve flessen = $1,5$ flessen

We vullen dit aan zodat ieder het equivalent van $3,5$ flessen heeft en vullen tenslotte aan met de lege
flessen zodat ieder $7$ flessen heeft :

1° persoon : $1$ halve fles + $3$ volle flessen + $3$ lege flessen

2° persoon : $3$ halve flessen + $2$ volle flessen + $2$ lege flessen

3° persoon : $3$ halve flessen + $2$ volle flessen + $2$ lege flessen

Er is ook nog een andere verdeling mogelijk :

1° persoon : $1$ halve fles + $3$ volle flessen + $3$ lege flessen

2° persoon : $1$ halve fles + $3$ volle flessen + $3$ lege flessen

3° persoon : $5$ halve flessen + $1$ volle fles + $1$ lege fles

7.39

MERKWAARDIG

In het numerieke klavier van bvb. een smartphone of rekenmachientje zit de tafel van vermenigvuldiging van $7$ verborgen.
Het klavier ziet er als volgt uit :

$1$	$2$	$3$
$4$	$5$	$6$
$7$	$8$	$9$

Begin nu van linksonder naar boven te nummeren : $0,1,2,\ldots$ maar herhaal het cijfer in de bovenste rij
als begincijfer voor de volgende kolom. We vinden dus $0;1;2$ ; de $2$ wordt herhaald onderaan de tweede
kolom; $3;4$; de $4$ wordt herhaald onderaan de derde kolom; $5; 6$
We hebben dan de volgende schikking :

$1$ $\color{red}{2~~~~\,\,}$	$2$ $\color{red}{4~~~~\,\,}$	$3$ $\color{red}{6~~~~\,\,}$
$4$ $\color{red}{1~~~~\,\,}$	$5$ $\color{red}{3~~~~\,\,}$	$6$ $\color{red}{5~~~~\,\,}$
$7$ $\color{red}{0~~~~\,\,}$	$8$ $\color{red}{2~~~~\,\,}$	$9$ $\color{red}{4~~~~\,\,}$

En men leest duidelijk de tafel van $7$ af, beginnend linksonder met $07;14;21;28;35;\ldots$

Er is een soortgelijk trukje met de tafel van $3$. Hierbij wordt in de meest rechtse kolom een $0$
toegevoegd, in de middelste kolom een $1$ en in de linkse kolom een $2$.
Men vindt dan de volgende schikking waaruit men de tafel van $3$ kan afleiden:

$1$ $\color{blue}{2~~~~\,\,}$	$2$ $\color{blue}{1~~~~\,\,}$	$3$ $\color{blue}{0~~~~\,\,}$
$4$ $\color{blue}{2~~~~\,\,}$	$5$ $\color{blue}{1~~~~\,\,}$	$6$ $\color{blue}{0~~~~\,\,}$
$7$ $\color{blue}{2~~~~\,\,}$	$8$ $\color{blue}{1~~~~\,\,}$	$9$ $\color{blue}{0~~~~\,\,}$

En men leest duidelijk de tafel van $3$ af, beginnend rechtsboven met $03;06;09;12;15;\ldots$

Met de tafel van $9$ gaat het als volgt : de getallen van $0$ tot $8$ toevoegen van rechtsonder naar linksboven.
We hebben dan de volgende schikking:

$1$ $\color{green}{8~~~~\,\,}$	$2$ $\color{green}{7~~~~\,\,}$	$3$ $\color{green}{6~~~~\,\,}$
$4$ $\color{green}{5~~~~\,\,}$	$5$ $\color{green}{4~~~~\,\,}$	$6$ $\color{green}{3~~~~\,\,}$
$7$ $\color{green}{2~~~~\,\,}$	$8$ $\color{green}{1~~~~\,\,}$	$9$ $\color{green}{0~~~~\,\,}$

En men leest duidelijk de tafel van $9$ af, beginnend rechtsonder met $09;18;27;36;45;\ldots$

Dit trukje lukt alleen maar met de tafel van $3$, van $7$ en van $9$ !! Dit zijn immers de enige ééncijferige
getallen waarvan de opeenvolgende veelvouden telkens een ander eindcijfer hebben.

7.40

$7$ schrijven met behulp van de cijfers $1,2,3$ en $4$ :
$~~1+3*4/2~~=~~(3+4)*(2-1)~~=~~4!/3-1^2~~=~~\sqrt4+3*2-1~~=~~$ Vindt jij er meer ?

7.41

$7$ als de som van twee en drie priemgetallen :

$$ 2\;\&\;3\;primes \left[ \begin{matrix} &2&+&5\\ \\ &2&+&2&+&3\\ \end{matrix} \right. $$

7.42

Men moet $7$ tot minimaal de $33$ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact zeven zevens verschijnen.
$7^{33}={\color{blue}{77}}30993{\color{blue}{7}}19{\color{blue}{7}}0{\color{blue}{7}}44452413{\color{blue}{7}}09440{\color{blue}{7}}\qquad$ (OEIS A244603)

7.43

De eerste keer dat er $7$ opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen $89$ en $97$
met aldus een priemkloof van $8\,.~~$ (OEIS A000101.pdf)

7.44

$7$ deelt de som van de eerste $7$ samengestelde getallen. (OEIS A053781)
$4+6+8+9+10+12+14=63~~$ en $~~63/7=9$

7.45

$7!-1$ is een priemgetal $(=5039)$, de vierde in zijn soort $(k!-1)~~$ (OEIS A002982)

7.46

${\large\sigma}(7)=8=2^3$ (som der delers is een derdemacht) (OEIS A020477)

7.47

Via deze Numberphile YouTube Video Why 7 is Weird - Numberphile kom je te weten via James Grime of een getal deelbaar is door $7$.

7.48

$F(7)~=~13~~$is een Fibonacci priemgetal. (OEIS A001605) (OEIS A005478)

7.49

$7$$^7$$-2$ is een priemgetal, de tweede in zijn soort ($k^k-2$). (OEIS A100408)

7.50

De volgende formule levert getallen die deelbaar zijn door $7$

$\bbox[3px,border:1px solid]{6^n-5^n+4^n-3^n+2^n-1^n}$

maar enkel op voorwaarde dat het even machten zijn.

7.51

$\begin{align}7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{2}{1}}\right)^3-\left({\frac{1}{1}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{4}{3}}\right)^3+\left({\frac{5}{3}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{73}{38}}\right)^3-\left({\frac{17}{38}}\right)^3\end{align}$

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

$(x^3+y^3)/z^3=n~\to~$ [x waarde] (OEIS A190356) [y waarde] (OEIS A190580) [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen $~\to~$ [x waarde] (OEIS A254326) [y waarde] (OEIS A254324)

7.52

$2$$^{7}$$\,+\,3$ is een priemgetal $(=131)$, de zesde in zijn soort $(2^k+3)~~$ (OEIS A057732)

7.53

$2$$^{7-1}$$\,+\,7$ is een priemgetal $(=71)$, de derde in zijn soort $(2^{k-1}+k)~~$ (OEIS A061422)

7.54

$(7^{7}-7!)/7$ is een priemgetal $(=116929)$, de derde in zijn soort $(p^p-p!)/p)~~$ (OEIS A137999)

7.55

Som der reciproken van partitiegetallen van $7$ levert nooit $1$ op.

Bijgevolg ook geen partities met unieke termen.

(OEIS A028229) (OEIS A125726)

7.56

$7!+2$$^{7}$$\,-\,1$ is een priemgetal $(=5167)$, de vijfde in zijn soort $(k!+2^k-1)~~$ (OEIS A186449)

7.57

$7$$^{1}$$+7$$^{3}$$+7$$^{1}$$+7$$^{7}$$+7$$^{7}$$+7$$^{3}$$+7$$^{8}$$+7$$^{8}$$\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13177388~~$ (OEIS A236067)

7.58

Expressie van $n$ enkel gebruik makend van faculteiten, vierkantswortels en afrondingen.

$7~=~$ceil(sqrt(sqrt(sqrt(sqrt(sqrt(sqrt(sqrt(ceil(sqrt($7$!))!)))))))) in Pari/GP code

$\qquad\qquad7=$${\Huge\lceil}$$\!\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\lceil\sqrt{7!}\,\rceil!}}}}}}$${\,\Huge\rceil}$

7.59

○–○–○

$7^2=49~~$ en $~~-\sqrt{4}+9=7$
$7^3=343~~$ en $~~3!+4-3=7$
$\bbox[2px,border:1px solid green]{7^4=2401~~~\text{en}~~~2+4+0+1=7}$
$7^5=16807~~$ en $~~1*6+8+0-7=7$
$7^6=117649~~$ en $~~11+7-6+4-9=7$
$7^7=823543~~$ en $~~8+2+3-5-4+3=7$
$7^8=5764801~~$ en $~~5+7+6-4-8+0+1=7$
$7^9=40353607~~$ en $~~40-35+3+6+0-7=7$
$7^{10}=282475249~~$ en $~~28+24+7-5+2-49=7$
$7^{11}=1977326743~~$ en $~~19+7+7-32+6+7-4-3=7$
$7^{12}=13841287201~~$ en $~~138-41-2-87-2+0+1=7$
$7^{13}=96889010407~~$ en $~~96+8-8-90-10+4+0+7=7$
$7^{14}=678223072849~~$ en $~~678+22+30-728-4+9=7$
$7^{15}=4747561509943~~$ en $~~474+7+5-61-509+94-3=7$
$7^{16}=33232930569601~~$ en $~~332-329-3+0+5+6-9+6+0-1=7$
$7^{17}=232630513987207~~$ en $~~23-26+3+0+5-1-39+8+7+20+7=7$
$7^{18}=1628413597910449~~$ en $~~16+28-4-1-35+9-7+9+1+0+4-4-9=7$
$7^{19}=11398895185373143~~$ en $~~113-98-8-9+5+1+85-37-3+1-43=7$
$7^{20}=79792266297612001~~$ en $~~7+97-92+2-6-6+2-9+7-6+12+0+0-1=7$

7.60

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{\large{7}}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$\qquad\qquad~sdc\left(18^{\large{7}}\right)=18\qquad\qquad~sdc\left(27^{\large{7}}\right)=27\qquad\qquad~sdc\left(31^{\large{7}}\right)=31$

$\qquad\qquad~sdc\left(34^{\large{7}}\right)=34\qquad\qquad~sdc\left(43^{\large{7}}\right)=43\qquad\qquad~sdc\left(53^{\large{7}}\right)=53$

$\qquad\qquad~sdc\left(58^{\large{7}}\right)=58\qquad\qquad~sdc\left(68^{\large{7}}\right)=68$
(OEIS A226971)

7.61

Exponent $7$ heeft geen groter grondtal dan $93$ zodat de decimale expansie van deze macht geen cijfers bevat
uit het grondtal$~~~~\to~~~~93^{7}=60170087060757$
(OEIS A113951)

7.62

${\color{blueviolet}{7}}+8+9+10+11+12+\cdots+114+115+116+117+118+{\color{blueviolet}{119}}={\color{blueviolet}{7}}$^^${\color{blueviolet}{119}}=7119$
(OEIS A186074)

7.63

$7$ is het aantal partities van $5~~$ (OEIS A000041)
Pari/GP code : numbpart(5)

7.64

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9~~$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$\qquad\qquad7=(1+1)*(1+1+1)+1$
$\qquad\qquad7=2+2+2+2/2$
$\qquad\qquad7=3+3+3/3$
$\qquad\qquad7=4+4-4/4$
$\qquad\qquad7=5+(5+5)/5$
$\qquad\qquad7=6+6/6$
$\qquad\qquad7=7$
$\qquad\qquad7=8-8/8$
$\qquad\qquad7=9-(9+9)/9$

7.65

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$\qquad\qquad7=1+23-4+56-78+9$
$\qquad\qquad7=98-7-6-54-3-21$

7.66

Een zevende macht dat gelijk is aan de som van zeven andere zevende machten!
Gevonden door Mark Dodrill in $1999$.
$568^7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}127^7+258^7+266^7+413^7+430^7+439^7+525^7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}19073849430410002432$

7.67

\(7\)\(_{\large\color{green}{4}}\)	\(7\)		\(2\)	\(8\)
	\(1,7\)
	Priem	getal	\(111_2\)	\(7_{16}\)

radix	omzetting	radix	omzetting
2		20
3		21
4		22
5		23
6		24
7		25
8		26
9		27
10		28
11		29
12		30
13		31
14		32
15		33
16		34
17		35
18		36
19		F5 = CLEAR