\(7=3+4\) (som van opeenvolgende gehele getallen) \(7=1+1+2+3\) (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen) \(7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^2-3^2\) \(7=(1;1;1;2)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#1\}\) \(7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(0;0;1;1;1;1;1;1;1)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}\) \(7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3!+1!\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}10!/(6!)^2\) \(7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3-1\) \(7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{[2^4][4^2]-3^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[tan,3px]{2^5-5^2}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^7-11^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}[2^{15}][8^5][32^3]-181^2\) \(\qquad(~2^{15}-181^2\) → de eerste term kan vervangen worden door \(8^5\) of door \(32^3\) vermits \(2^{15}=8^5=32^3=32768\) ) | 7.1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten) \(\qquad18\) oplossingen bekend \(\qquad\)References Sum of Three Cubes \(7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten) \(\qquad\bbox[lightyellow,3px,border:1px blue solid]{~oplossing~onbekend~}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\) | 7.2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(7^1+1=8=2*2^2~~\) en \(~~7^2+1=50=2*5^2~~\) (een dergelijk patroon komt alleen bij \(7\) voor) \(7^0+7^1+7^2+7^3=20^2\) | 7.3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \(7=9-2~~\) en \(~~77=9^2-2^2\) \(7=\root{\raise3pt{\large4}}\of{2401}~~\) en \(~~2+4+0+1=7\) | 7.4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Probleem van BROCARD : \(7!+1=5041=71^2\) (zie voor meer uitleg bij ) | 7.5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(7^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(49\) \(7^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(343\) | 7.6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(7^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}5^2+5^2-1^2~~\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}~~2^2+3^2+6^2~~\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}~~1^2+4^2+4^2+4^2\) \(7^3=343=(3+4)^3\) \(7^3=18^0+18^1+18^2\) | 7.7 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Vier getallen zijn gelijk aan \(7\) maal de som van hun cijfers : \(21,42,63\) en \(84~~\) ( ) Bvb. met \(63\) is \(63=7*(6+3)\). Merk ook op dat het omgekeerde van die vier getallen (\(12,24,63\) en \(48\)) een analoog patroon (maar nu '\(4\) maal de som') vertoont. Zie ook bij | 7.8 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Het getal \(7\) is het enige onpare getal dat niet bekomen kan worden door het verschil van twee priemgetallen te maken. | 7.9 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \(1/2+\Large{\left[\frac{1/3}{(1/4\,*\,1/5)}\right]}\)\(-1/6=7\) (de breuk tussen [ ] is gelijk aan \(20/3)\) | 7.10 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \(7\) is het enige priemgetal dat gevolgd wordt door een derdemacht in de rij der natuurlijke getallen. | 7.11 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \(7*(A+B)=A*B\) heeft twee oplossingen in gehele getallen : \(~~7*(8+56)=8*56~~\) en \(~~7*(14+14)=14*14\) | 7.12 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \(7\) is een zogenaamd gelukkig getal (happy number) en wel het kleinste als men het triviale geval \(1\) uitsluit. Voor een gelukkig getal berekent men de som van de kwadraten van de cijfers en men herhaalt dit; als men op \(1\) uitkomt, dan is het oorspronkelijke getal een gelukkig getal. Voor \(7\) heeft men de volgende berekening : \(7\) → \(7^2=49\) → \(4^2+9^2=97\) → \(9^2+7^2=130\) → \(1^2+3^2+0^2=10\) → \(1^2+0^2=\large1\) | 7.13 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Een zescijferig getal van de vorm \({\small\text{ABCABC}}\) (een tautonymisch getal) is steeds deelbaar door \(7\) (zie voor meer details bij ) : bvb. \(269269/7=38467\) | 7.14 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \(4^a-3^a\) is deelbaar door \(7\) op voorwaarde dat \(a\) een even getal is, bvb. \(4^6-3^6=481*7\) | 7.15 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Het kleinste getal waarbij \(4\) kwadraten nodig zijn volgens de stelling van LAGRANGE (meer uitleg bij ) \(7=(1;1;1;2)=1^2+1^2+1^2+2^2\) | 7.16 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De ogen aan weerszijden van een standaard dobbelsteen tellen altijd samen op tot \(7\). | 7.17 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De volgende getallen behouden dezelfde cijfers na vermenigvuldiging met \(7\) : \begin{align} 1359*7&=9513\\ 11688*7&=81816\\ 11883*7&=83181 \end{align} | 7.18 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Er zijn \(4\) getallen van zeven cijfers die gelijk zijn aan de som van de \(zevende\) macht van hun cijfers : \(1741725=1\)\(^7\)\(\,+\,7\)\(^7\)\(\,+\,4\)\(^7\)\(\,+\,1\)\(^7\)\(\,+\,7\)\(^7\)\(\,+\,2\)\(^7\)\(\,+\,5\)\(^7\) De overige drie getallen zijn : \(4210818,9800817,9926315\) | 7.19 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \(1/7 = 0,142857\ldots\) waarbij het getal \(142857\) na vermenigvuldiging met \(2,3,4,5\) of \(6\) steeds dezelfde cijfers als het oorspronkelijke getal vertoont in een wisselende cyclische volgorde : \begin{align} 142857*2&=285714\\ 142857*3&=428571\\ 142857*4&=571428\\ 142857*5&=714285\\ 142857*6&=857142 \end{align} Het patroon wordt onderbroken na vermenigvuldiging met \(7\to142857*7=999999\)Deze merkwaardige eigenschap is afkomstig van het feit dat de decimale ontwikkeling van \(1/7\) een lengte heeft van \((7-1)=6\). In het algemeen doet zich een gelijkaardig patroon voor als de breuk \(1/n\) een decimale ontwikkeling heeft van lengte \((n-1)\). Het volgende getal met deze eigenschap is \(17\). Zie bij maar ook . | 7.20 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Een gevolg van het patroon \(1/7=0,142857\ldots\) is deze piramidale structuur : \begin{align} 1*7+3&=10\\ 14*7+2&=100\\ 142*7+6&=1000\\ 1428*7+4&=10000\\ 14285*7+5&=100000\\ 142857*7+1&=1000000\\ 1428571*7+3&=10000000\\ 14285714*7+2&=100000000\\ 142857142*7+6&=1000000000\\ 1428571428*7+4&=10000000000\\ 14285714285*7+5&=100000000000\\ 142857142857*7+1&=1000000000000\\ 1428571428571*7+3&=10000000000000\\ \cdots&=\cdots \end{align} | 7.21 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Als \(2*A=5*B\) dan is de som \(A+B\) een veelvoud van \(7\). Voorbeeld : \(2*\mathbf{10}=5*\mathbf4\) en \(10+4=14\) | 7.22 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Voor een bijzondere eigenschap van \(7\), zie bij (OEIS 039669) | 7.23 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Er is één rechthoekige driehoek met gehele zijden en \(7\) als één van de zijden : \((7;24;25)\) | 7.24 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Tangram is een puzzel waarbij \(7\) geometrische vormen (\(5\) driehoeken, \(1\) vierkant en \(1\) parallellogram) kunnen samengevoegd worden tot allerhande figuren (mensen, dieren, voorwerpen, abstracte vormen, \(\ldots\)) De puzzel heeft hoogst waarschijnlijk een Chinese oorsprong maar is over de ganse wereld bekend. Zie ook de gelijkaardige puzzel Stomachion bij . | 7.25 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De volgende reeks zijn allemaal priemgetallen, waarbij steeds het rechtse cijfer wordt bijgevoegd :
\begin{align} 7\\ 7\mathbf{3}\\ 73\mathbf{9}\\ 739\mathbf{3}\\ 7393\mathbf{9}\\ 73939\mathbf{1}\\ 739391\mathbf{3}\\ 7393913\mathbf{3} \end{align} | 7.26 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De volgende reeks zijn allemaal priemgetallen, waarbij steeds het voorste cijfer wordt weggelaten : (enkel de eerste en laatste getallen worden weergegeven) \begin{align} 357686312646216567629137&\\ 57686312646216567629137&\\ 7686312646216567629137&\\ 686312646216567629137&\\ \cdots\cdots&\\ 137&\\ 37&\\ 7 \end{align} | 7.27 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ook allemaal priemgetallen : \begin{align} 9999907&\\ 999907&\\ 99907&\\ 9907&\\ 907&\\ 07&\\ \end{align} Maar het grotere getal \(99999907=7*19*751879\) is dus geen priemgetal. | 7.28 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Vier zeshoeken kunnen op \(zeven\) verschillende wijzen aan elkaar worden aangesloten waarbij iedere zeshoek ten minste één zijde gemeenschappelijk heeft met een andere zeshoek (OEIS A000228). Deze arrangementen, die allemaal een naam hebben gekregen, zijn ook gekend als 'tetrahexes'. (Wikipedia)
| 7.29 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Piramidegetallen : drie variaties \begin{align} 9*7&=63\\ 99*7&=693\\ 999*7&=6993\\ 9999*7&=69993\\ 99999*7&=699993\\ 999999*7&=6999993\\ 9999999*7&=69999993 \end{align} \begin{align} 9*7&=63\\ 99*67&=6633\\ 999*667&=666333\\ 9999*6667&=66663333\\ 99999*66667&=6666633333 \end{align} \begin{align} 4*7&=28\\ 34*67&=2278\\ 334*667&=222778\\ 3334*6667&=22227778\\ 33334*66667&=2222277778 \end{align} | 7.30 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Om het getal \(101449275362318840579\mathbf7\) met \(7\) te vermenigvuldigen volstaat het om de laatste \(7\) vooraan te schrijven en de rest van het getal te kopiëren : het resultaat is \(\mathbf7101449275362318840579\) | 7.31 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \(7\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(7\) oplossingen) : \(16758/2394=18459/2637=31689/4527=36918/5274=37926/5418=41832/5976=53298/7614=7\) \(7\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(1\) oplossing) : \(98532/14076=7\) | 7.32 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Bij de vermenigvuldigingen \(~~7*4093=28651~~\) en \(~~7*9304=65128~~\) en \(~~7*9403=65821\) worden de cijfers van \(0\) tot \(9\) telkens één maal gebruikt. | 7.33 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Er bestaan \(7\) verschillende ééndimensionale symmetrie-groepen, ook gekend als strookpatroongroepen (Engels : frieze groups) (Wikipedia). | 7.34 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \(7\) is ook het aantal bruggen in Königsberg. In de stad Königsberg (het huidige Kaliningrad) vormt de rivier Pregel een eiland midden in de stad. Een aantal bruggen verbindt de oevers met het eiland. Ondanks vele pogingen slaagde men er nooit in om een circuit af te leggen waarbij men alle bruggen één maal aandeed en terug op het beginpunt kwam. De beroemde wiskundige Leonhard EULER toonde aan dat het bedoelde traject onder die voorwaarden onmogelijk was en gaf zo de aanzet voor de grafentheorie. | 7.35 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Om een stomphoekige driehoek (= een driehoek waarvan één van de hoeken meer dan 90° is) te verdelen in scherphoekige driehoeken (= driehoeken met elke hoek kleiner dan 90°) zijn minimaal \(7\) scherphoekige driehoeken nodig. Teken een vijfhoek waarvan twee zijden overeenkomen met een deel van de beide zijden van de driehoek rond de stompe hoek; het centrale gedeelte van de overstaande zijde is ook een zijde van de vijfhoek; de twee overige zijden bepalen reeds twee scherphoekige driehoeken in de oorspronkelijke stomphoekige driehoek. Neem een centraal punt in de vijfhoek en verbind met de vijf hoekpunten van de vijfhoek. Dit levert nogmaals vijf scherphoekige driehoeken. | 7.36 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ga naar voor een merkwaardigheid met vierdemachten en een \(7\). | 7.37 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| EEN PUZZEL
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\) | 7.38 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| EEN PUZZEL
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\) We vullen dit aan zodat ieder het equivalent van \(3,5\) flessen heeft en vullen tenslotte aan met de lege flessen zodat ieder \(7\) flessen heeft : Er is ook nog een andere verdeling mogelijk : | 7.39 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| MERKWAARDIG
In het numerieke klavier van bvb. een smartphone of rekenmachientje zit de tafel van vermenigvuldiging van \(7\) verborgen.
Begin nu van linksonder naar boven te nummeren : \(0,1,2,\ldots\) maar herhaal het cijfer in de bovenste rij als begincijfer voor de volgende kolom. We vinden dus \(0;1;2\) ; de \(2\) wordt herhaald onderaan de tweede kolom; \(3;4\); de \(4\) wordt herhaald onderaan de derde kolom; \(5; 6\) We hebben dan de volgende schikking :
En men leest duidelijk de tafel van \(7\) af, beginnend linksonder met \(07;14;21;28;35;\ldots\) Er is een soortgelijk trukje met de tafel van \(3\). Hierbij wordt in de meest rechtse kolom een \(0\) toegevoegd, in de middelste kolom een \(1\) en in de linkse kolom een \(2\). Men vindt dan de volgende schikking waaruit men de tafel van \(3\) kan afleiden:
En men leest duidelijk de tafel van \(3\) af, beginnend rechtsboven met \(03;06;09;12;15;\ldots\) Met de tafel van \(9\) gaat het als volgt : de getallen van \(0\) tot \(8\) toevoegen van rechtsonder naar linksboven. We hebben dan de volgende schikking:
En men leest duidelijk de tafel van \(9\) af, beginnend rechtsonder met \(09;18;27;36;45;\ldots\) Dit trukje lukt alleen maar met de tafel van \(3\), van \(7\) en van \(9\) !! Dit zijn immers de enige ééncijferige getallen waarvan de opeenvolgende veelvouden telkens een ander eindcijfer hebben. | 7.40 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \(7\) schrijven met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \(4\) : \(~~1+3*4/2~~=~~(3+4)*(2-1)~~=~~4!/3-1^2~~=~~\sqrt4+3*2-1~~=~~\) Vindt jij er meer ? | 7.41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \(7\) als de som van twee en drie priemgetallen :
$$ 2\;\&\;3\;primes \left[ \begin{matrix} &2&+&5\\ \\ &2&+&2&+&3\\ \end{matrix} \right. $$ | 7.42 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Men moet \(7\) tot minimaal de \(33\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact zeven zevens verschijnen. \(7^{33}={\color{blue}{77}}30993{\color{blue}{7}}19{\color{blue}{7}}0{\color{blue}{7}}44452413{\color{blue}{7}}09440{\color{blue}{7}}\qquad\) (OEIS A244603) | 7.43 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
De eerste keer dat er \(7\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(89\) en \(97\) | 7.44 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \(7\) deelt de som van de eerste \(7\) samengestelde getallen. (OEIS A053781) \(4+6+8+9+10+12+14=63~~\) en \(~~63/7=9\) | 7.45 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(7!-1\) is een priemgetal \((=5039)\), de vierde in zijn soort \((k!-1)~~\) (OEIS A002982) | 7.46 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\({\large\sigma}(7)=8=2^3\) (som der delers is een derdemacht) (OEIS A020477) | 7.47 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Via deze Numberphile YouTube Video Why 7 is Weird - Numberphile kom je te weten via James Grime of een getal deelbaar is door \(7\). | 7.48 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(F(7)~=~13~~\)is een Fibonacci priemgetal. (OEIS A001605) (OEIS A005478) | 7.49 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(7\)\(^7\)\(-2\) is een priemgetal, de tweede in zijn soort (\(k^k-2\)). (OEIS A100408) | 7.50 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
De volgende formule levert getallen die deelbaar zijn door \(7\) \(\bbox[3px,border:1px solid]{6^n-5^n+4^n-3^n+2^n-1^n}\) maar enkel op voorwaarde dat het even machten zijn. | 7.51 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(\begin{align}7\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{2}{1}}\right)^3-\left({\frac{1}{1}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{4}{3}}\right)^3+\left({\frac{5}{3}}\right)^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{73}{38}}\right)^3-\left({\frac{17}{38}}\right)^3\end{align}\) (Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) \((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356) [y waarde] (OEIS A190580) [z waarde] (OEIS A190581) Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326) [y waarde] (OEIS A254324) | 7.52 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(2\)\(^{7}\)\(\,+\,3\) is een priemgetal \((=131)\), de zesde in zijn soort \((2^k+3)~~\) (OEIS A057732) | 7.53 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(2\)\(^{7-1}\)\(\,+\,7\) is een priemgetal \((=71)\), de derde in zijn soort \((2^{k-1}+k)~~\) (OEIS A061422) | 7.54 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| \((7^{7}-7!)/7\) is een priemgetal \((=116929)\), de derde in zijn soort \((p^p-p!)/p)~~\) (OEIS A137999) | 7.55 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Som der reciproken van partitiegetallen van \(7\) levert nooit \(1\) op. Bijgevolg ook geen partities met unieke termen. | 7.56 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(7!+2\)\(^{7}\)\(\,-\,1\) is een priemgetal \((=5167)\), de vijfde in zijn soort \((k!+2^k-1)~~\) (OEIS A186449) | 7.57 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
\(7\)\(^{1}\)\(+7\)\(^{3}\)\(+7\)\(^{1}\)\(+7\)\(^{7}\)\(+7\)\(^{7}\)\(+7\)\(^{3}\)\(+7\)\(^{8}\)\(+7\)\(^{8}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}13177388~~\) (OEIS A236067) | 7.57 |
| Schakelaar \(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\) “Allemaal Getallen” |
|---|
| \(7\) | \(7\) | \(2\) | \(8\) |
| \(1,7\) | |||
| Priemgetal | \(111_2\) | \(7_{16}\) | |
| Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email) Laatste update 14 september 2024 |