$6=1+2+3$ (som van opeenvolgende gehele getallen) (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

$6=2+4$ (som van opeenvolgende pare getallen)

$6=3!$

$6\mathbf{=}{2}^2+2\mathbf{=}{2}^3-2\mathbf{=}{3}^2-3$

$6=2\ast 3$ en dus een primoriaal

$6=(0;1;1;2)➋\to \{\mathrm{\#}1\}$

$6\mathbf{=}{1}^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3\mathbf{=}(0;0;0;1;1;1;1;1;1)➌\to \{\mathrm{\#}1\}$

$6\mathbf{=}(x^m+y^n$ heeft geen oplossing met limieten grondtal $9999$ en exponent $19$ )

$6\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$8$ oplossingen bekend

$$References Sum of Three Cubes

$6\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$7^5+{13}^5+(-15{)}^5+(-16{)}^5+{17}^5\mathbf{=}(z>200)\to$Noteer dat$7+13-15-16+17\mathbf{=}6$

$6\mathbf{=}{6}^2-5^2-3^2+2^2\mathbf{=}{7}^2-6^2-4^2+3^2\mathbf{=}\dots$

$$Algemeen heeft men de volgende betrekking voor willekeurige waarden van $A$ :

$6=(A+2{)}^2-(A+1{)}^2-(A-1{)}^2+(A-2{)}^2$.

$$Kiest men bvb. $A=9$ dan komt er : $6={11}^2-{10}^2-8^2+7^2$

$6^2\mathbf{=}(1+2+3{)}^2\mathbf{=}{1}^3+2^3+3^3$ (som van opeenvolgende derdemachten. Zie ook bij 3.60 204.10 )

$6^2=2^2+4^2+4^2$

$6^3=5^3+4^3+3^3$

$6^2\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $36$

$6^3\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $216$

De volgende getallen behouden dezelfde cijfers na vermenigvuldiging met $6$ :
$$\begin{array}{rl}1386\ast 6& =8316\\ 10168\ast 6& =61008\\ 11386\ast 6& =68316\\ 11702\ast 6& =70212\end{array}$$

De volgende getallen hebben links en rechts hetzelfde aantal cijfers :
$$\begin{array}{rl}6\ast 21& =126\\ 6\ast 201& =1206\\ 6\ast 210& =1260\\ 6\ast 2541& =15246\end{array}$$

$$2oddprimes[\begin{array}{c}\\ & 3& +& 3\\ \end{array}$$

$$3primes[\begin{array}{c}\\ & 2& +& 2& +& 2\\ \end{array}$$

De beroemde Franse wiskundige Adrien-Marie LEGENDRE was van mening dat $6$ niet kon worden

geschreven als de som van twee derdemachten van breuken. Helaas voor hem vond de Engelse

puzzelontwerper DUDENEY een oplossing :

$$\begin{array}{r}6\mathbf{=}{\left(\frac{17}{21}\right)}^3+{\left(\frac{37}{21}\right)}^3\end{array}$$

Zie ook de puzzel bij 9.34 waar een nog straffere prestatie van DUDENEY aan het licht komt.

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

$(x^3+y^3)/z^3=n\to$ [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen $\to$ [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

Alle even machten van $6$, verminderd met $1$, zijn veelvouden van $35$ : $$\begin{array}{rl}{6}^2-1& =35=1\ast \mathbf{35}\\ 6^4-1& =1295=37\ast \mathbf{35}\\ 6^6-1& =46655=1333\ast \mathbf{35}\\ 6^8-1& =1679615=47989\ast \mathbf{35}\end{array}$$

Neem $6$ punten in een vlak (geen drie punten op één lijn) en begin met de punten twee aan twee te
verbinden door hetzij een rode lijn, hetzij een blauwe lijn. Dit mag volkomen willekeurig gebeuren. Als alle
mogelijke lijnen zijn getrokken blijkt dat er minstens één blauwe of rode driehoek is gevormd.

Een variante hierop is het probleem van PUTNAM : Bewijs dat in om het even welke groep van $zes$ personen
er steeds hetzij drie vrienden, hetzij drie voor elkaar vreemden zijn.

Getalpiramide $$\begin{array}{rl}6\ast 6& =3\mathbf{6}\\ 66\ast 66& =435\mathbf{6}\\ 666\ast 666& =44355\mathbf{6}\\ 6666\ast 6666& =4443555\mathbf{6}\\ 66666\ast 66666& =444435555\mathbf{6}\\ 666666\ast 666666& =44444355555\mathbf{6}\\ 6666666\ast 6666666& =4444443555555\mathbf{6}\\ 66666666\ast 66666666& =444444435555555\mathbf{6}\end{array}$$

Twee getalpiramides
$$\begin{array}{rlrl}6\ast 9& =54& 6\ast 7& =42\\ 66\ast 99& =6534& 66\ast 77& =4422\\ 666\ast 999& =665334& 666\ast 777& =444222\\ 6666\ast 9999& =66653334& 6666\ast 7777& =44442222\\ 66666\ast 99999& =6666533334& 66666\ast 77777& =4444422222\end{array}$$

$Opgave$
Neem een getal, vermenigvuldig het met $9$ en trek $3$ van het resultaat af. Maak de cijfersom
(tel alle cijfers op tot er één cijfer overblijft). Hoeveel bedraagt de cijfersom ?
$Oplossing$
Cijfersom is $6.$ Een voorbeeld voor het getal $14228$ : $14228\ast 9=128052$ ; $128052-3=128049$ en
$1+2+8+0+4+9=24\to 2+4=6$

$Opgave$
Er staan een aantal personen op een rij, minder dan $20$. Ieder draagt een bordje met een
volgnummer en ze staan netjes geschikt van $1,2,3,\dots$ tot de laatste. Eén persoon merkt op dat de som
van de bordjes aan zijn linkerkant precies gelijk is aan de som van de bordjes aan zijn rechterkant. Welk
nummer draagt die persoon en hoeveel personen staan in de rij ?
$Oplossing$
De persoon draagt het nummer $6$. Rechts ziet hij de bordjes $1+2+3+4+5=15$ en links
de bordjes $7$ en $8$, samen ook $15$. Er zijn dus $8$ personen in de rij. Zie ook bij 35.15. Een variante wordt
besproken bij 14.16. Zie ook bij 21.19 en voor een meer uitgebreide analyse zie : Huizen op een Rij uit het
gedeelte “Puzzelen met Getallen”.

Oplossingen van de vergelijking $n!=a!\ast b!$ zijn : $6!=2!\ast 3!$ en $10!=6!\ast 7!$

De rij $123456$ is nauw verbonden met een rechthoekige driehoek :
$3$ en $4$ zijn de rechthoekszijden
$5$ is de schuine zijde (ook hypothenusa genoemd)
$6$ is de oppervlakte van de driehoek
$1$ is de straal van de grootste cirkel die binnenin de driehoek, rakend aan de drie zijden kan getekend
worden (dit is de ingeschreven cirkel)
De combinatie $12$ is de omtrek van de driehoek $(=3+4+5)$
Als $A,B$ en $C$ de zijden van de rechthoekige driehoek zijn, met $A$ = de schuine zijde, dan is de straal van
de ingeschreven cirkel $r=(A+B-C)/2$ en van de omgeschreven cirkel $R=C/2$ ; hier is $R=5/2=2,5)$.

Men kan de cijfers van $1$ tot en met $6$ schikken in driehoeksvorm (drie zijden met elk drie cijfers) zodat
de som langs alle zijden dezelfde is. Er zijn vier oplossingen mogelijk :

Neem drie opeenvolgende getallen maar wel zodanig dat het grootste een veelvoud van $3$ is.
Tel de drie getallen op en maak de som van de cijfers. Herhaal dit tot er slechts één cijfer over is.
Dat cijfer is steeds $6$ !
Een voorbeeld : Kies $(82;83;84)$. Dan is $82+83+84=249$ en verder $249=2+4+9=15$ en tenslotte $1+5=6$.

De grootst gekende verzameling van getallen die twee aan twee opgeteld een kwadraat opleveren bestaat uit $6$ leden.

$\{-15863902,17798783,21126338,49064546,82221218,447422978\}$

Bvb. $-15863902+447422978=431559076={20774}^2$. Zie ook (OEIS A195854)

Er is $1$ getal van zes cijfers dat gelijk is aan de som van de $zesde$ macht van zijn cijfers :

$548834=5$${}^6$$+4$${}^6$$+8$${}^6$$+8$${}^6$$+3$${}^6$$+4$${}^6$

(OEIS A005188) (OEIS A252648)

$6!-1$ is een priemgetal $(=719)$, de derde in zijn soort $(k!-1)$ (OEIS A002982)

Alle getallen van $1$ tot $6$ worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze unieke gelijkheid

van producten van machten.
$$\begin{array}{rl}{4}^3& \mathbf{=}{1}^5\ast 2^6\end{array}$$

Voor $n=6$ geldt $\sigma (n)=\sigma (n+5)\to \sigma (6)=\sigma (11)=12(\sigma$ of  'sigma' staat voor som der delers)

$6$ is de eerste oplossing uit (OEIS A015865)

$6!!-1$is een priemgetal van $2$ cijfers lang ($47$). (OEIS A007749) (Dubbelfaculteit)

Pari/GP code : isprime(prod(i=1,6/2,2*i)-1)→ 1 (true)

Een tetraëder heeft $6$ ribben, een hexaëder (kubus) heeft $6$ vlakken en een octaëder heeft $6$ hoekpunten.

Als een Heron driehoek wiens zijden en oppervlakte bestaan uit gehele getallen

$\downarrow$

dan is zijn oppervlakte een veelvoud van $6$.

(Formule van Heron)

$6!+6+1$ is een priemgetal, de vijfde in zijn soort $(k!+k+1)$ (OEIS A073308)

$2$${}^6$$+3$ is een priemgetal $(=67)$, de vijfde in zijn soort $(2^k+3)$ (OEIS A057732)

$2$${}^6$$-3$ is een priemgetal $(=61)$, de vierde in zijn soort $(2^k-3)$ (OEIS A050414)

Som der reciproken van partitiegetallen van $6$ levert nooit $1$ op.

Bijgevolg ook geen partities met unieke termen.

(OEIS A028229) (OEIS A125726)

Een mooi patroon (zie ook bij 56.17 ) $$\begin{array}{rl}6& =(11+1)/(1+1)\\ 6& =(22+2)/(2+2)\\ 6& =(33+3)/(3+3)\\ 6& =(44+4)/(4+4)\\ 6& =(55+5)/(5+5)\\ 6& =(66+6)/(6+6)\\ 6& =(77+7)/(7+7)\\ 6& =(88+8)/(8+8)\\ 6& =(99+9)/(9+9)\end{array}$$

$6$ heeft een priem aantal partities, namelijk $(11)$ (OEIS A046063) (OEIS A049575)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^6$ is gelijk aan het grondtal k. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left({18}^6\right)=18sdc\left({45}^6\right)=45sdc\left({54}^6\right)=54$

$sdc\left({64}^6\right)=64$
(OEIS A055577)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$6\mathbf{=}(1+1)\ast (1+1+1)$
$6\mathbf{=}2+2+2$
$6\mathbf{=}3+3\mathbf{=}33-3^3$
$6\mathbf{=}4+(4+4)/4$
$6\mathbf{=}5+5/5$
$6\mathbf{=}6$
$6\mathbf{=}7-7/7$
$6\mathbf{=}8-(8+8)/8$
$6\mathbf{=}(99+9)/(9+9)$

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$6=12+34+56-7-89$
$6=98-7-65+4-3-21$

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$