\(6=1+2+3\) (som van opeenvolgende gehele getallen) (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

\(6=2+4\) (som van opeenvolgende pare getallen)

\(6=3!\)

\(6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2+2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^3-2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^2-3\)

\(6=33-3^3\) (identieke cijfers)

\(6=(0;1;1;2)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#1\}\)

\(6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(0;0;0;1;1;1;1;1;1)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}\)

\(6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}x^m+y^n~~\)(geen oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) )

6.1

\(6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad8\) oplossingen bekend

\(\qquad\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{(-1)^3+(-1)^3+2^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{(-43)^3+(-58)^3+65^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{(-55)^3+(-235)^3+236^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{(-205)^3+(-637)^3+644^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{10529^3+60248^3+(-60355)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{1426148^3+2441147^3+(-2593669)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{3980702370479^3+4207039164926^3+(-5161892429569)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{162765491944499^3+192722201207819^3+(-225522344776678)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\bbox[3px,border:1px blue solid]{7^5+13^5+(-15)^5+(-16)^5+17^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\to~~\)Noteer dat\(~~7+13-15-16+17\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6\)

6.2
Vanaf het priemgetal \(5\) zijn alle priemgetallen van de vorm \(6k\pm1\) met \(k\) een geheel getal. 6.3

\(6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}6^2-5^2-3^2+2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7^2-6^2-4^2+3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\ldots\)

\(\qquad\)Algemeen heeft men de volgende betrekking voor willekeurige waarden van \(A\) :

\(\qquad6=(A+2)^2-(A+1)^2-(A-1)^2+(A-2)^2\).

\(\qquad\)Kiest men bvb. \(A=9\) dan komt er : \(6=11^2-10^2-8^2+7^2\)

6.4
\(6=\Large{\frac{6!}{66+66-6-6}}\) 6.5
Het kleinste perfecte (of volmaakte) getal waarbij de som van de echte delers (alle delers behalve het getal zelf)
gelijk is aan het oorsponkelijke getal : \(6=1+2+3\) → (OEIS A000396). Zie ook bij en 		6.6

\(6^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1+2+3)^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^3+2^3+3^3~~\) (som van opeenvolgende derdemachten. Zie ook bij )

\(6^2=2^2+4^2+4^2\)

\(6^3=5^3+4^3+3^3\)

\(6^4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1296\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(1+2+9-6)^4\)

6.7
\(6*(A+B\,)={A*B}\) heeft vijf oplossingen in gehele getallen :
\(6*(8+24)=8*24~~;~~6*(7+42)=7*42~~;~~6*(9+18)=9*18~~;~~6*(10+15)=10*15~~\) en
\(6*(12+12)=12*12\) 		6.8
Een product van \(3\) opeenvolgende getallen is deelbaar door \(6\).
Voor elk getal \(A\) is het product \(A*(A+1)*(A+5)\) deelbaar door \(6\). Voorbeeld : \(A=1\) en \(1*2*6=12=2*6\)
Voor elk getal \(A\) is het product \(A*(A^2+5)\) deelbaar door \(6\). Voorbeeld : \(A=1\) en \(1*(1+5)=6\) 		6.9
Het enige getal waarvoor de som van \(3\) getallen gelijk is aan het product : \(1+2+3=1*2*3=6\)
De som van de omgekeerden van de delers van \(6\) is \(2:1/1+1/2+1/3+1/6=2\) (eigenschap van een perfect getal) 		6.10

\(6^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(36\)

\(6^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(216\)

6.11
In de vermenigvuldiging \(6*2943=17658\) komen de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voor. 6.12
De volgende getallen behouden dezelfde cijfers na vermenigvuldiging met \(6\) :
\begin{align} 1386*6&=8316\\ 10168*6&=61008\\ 11386*6&=68316\\ 11702*6&=70212 \end{align} 		6.13
De volgende getallen hebben links en rechts hetzelfde aantal cijfers :
\begin{align} 6*21&=126\\ 6*201&=1206\\ 6*210&=1260\\ 6*2541&=15246 \end{align} 		6.14
\(6\) is zowel een pronic getal \((6=2*3)\) als een driehoeksgetal \((6=1+2+3)\). Bovendien is het kwadraat
van het driehoeksgetal \(6\) ook een driehoeksgetal : \(36\); dit is waarschijnlijk uniek. 		6.15
\(6\) is het enige driehoeksgetal dat gelijk is aan de som van een priemgetal plus \(1\) \(\to\,(6=5+1)\)
\(6\) is het enige driehoeksgetal dat gelijk is aan het gemiddelde van een priemtweeling \(\to\,(6=(5+7)/2)\) 		6.16
\(6\) is slechts op één wijze de som van twee priemgetallen :

$$ 2\;odd\;primes \left[ \begin{matrix} \\ &3&+&3\\ \\ \end{matrix} \right. $$

\(6\) is slechts op één wijze de som van drie priemgetallen :

$$ 3\;primes \left[ \begin{matrix} \\ &2&+&2&+&2\\ \\ \end{matrix} \right. $$

6.17
\(6\) schrijven met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \(4\)
\(~~~~1/2*(3*4)~~=~~12/4+3\) 		6.18
\(6=(17469/5823)*(18534/9267)=34182/5697~~\) (pannumerieke breuken) 6.19

De beroemde Franse wiskundige Adrien-Marie LEGENDRE was van mening dat \(6\) niet kon worden

geschreven als de som van twee derdemachten van breuken. Helaas voor hem vond de Engelse

puzzelontwerper DUDENEY een oplossing :

\begin{align}6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{17}{21}}\right)^3+\left({\frac{37}{21}}\right)^3\end{align}

Zie ook de puzzel bij waar een nog straffere prestatie van DUDENEY aan het licht komt.

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

\((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

6.20
Alle even machten van \(6\), verminderd met \(1\), zijn veelvouden van \(35\) : \begin{align} 6^2-1&=35=1*\mathbf{35}\\ 6^4-1&=1295=37*\mathbf{35}\\ 6^6-1&=46655=1333*\mathbf{35}\\ 6^8-1&=1679615=47989*\mathbf{35} \end{align} 6.21
Het verschil tussen een getal en een onpare macht van datzelfde getal is steeds een veelvoud van \(6\) :
Bvb. \(4^3-4=60=6*10\)
Dat komt omdat \(N^a-N\) met \(a\) = oneven te ontbinden is als \((N-1)*N*(N+1)*V\) of m.a.w. een
veelvoud van \(6\) maal een veelterm \(V\). 		6.22
Het verschil tussen de derdemachten van twee opeenvolgende getallen, is gelijk aan een veelvoud van \(6\) plus \(1\) :
bvb. voor de opeenvolgende getallen \(12\) en \(13\) is \(13^3-12^3=2197-1728=469=6*78+1\) 		6.23

Neem \(6\) punten in een vlak (geen drie punten op één lijn) en begin met de punten twee aan twee te
verbinden door hetzij een rode lijn, hetzij een blauwe lijn. Dit mag volkomen willekeurig gebeuren. Als alle
mogelijke lijnen zijn getrokken blijkt dat er minstens één blauwe of rode driehoek is gevormd.

Een variante hierop is het probleem van PUTNAM : Bewijs dat in om het even welke groep van \(zes\) personen
er steeds hetzij drie vrienden, hetzij drie voor elkaar vreemden zijn.

6.24
Als men \(6\) vermenigvuldigt met een even getal, dan is het laatste cijfer van het product hetzelfde als dat
van het getal waarmee werd vermenigvuldigd :
\(6 * 1\mathbf8 = 10\mathbf8~~;~~6*25\mathbf4=152\mathbf4\)
Als men \(6\) vermenigvuldigt met een oneven getal, dan is het laatste cijfer van het product hetzelfde als
het laatste cijfer van '\(5\) plus het laatste cijfer van het getal waarmee werd vermenigvuldigd' :
\(6*34\mathbf7=208\mathbf2~~\) en \(~~5+\mathbf7=1\mathbf2~~;~~6*4\mathbf3=25\mathbf8~~;~~5+\mathbf3=\mathbf8\) 		6.25
Er is één rechthoekige driehoek met gehele zijden en \(6\) als één van de zijden : \((6;8;10)\) 6.26
Getalpiramide \begin{align} 6*6&=3\mathbf6\\ 66*66&=435\mathbf6\\ 666*666&=44355\mathbf6\\ 6666*6666&=4443555\mathbf6\\ 66666*66666&=444435555\mathbf6\\ 666666*666666&=44444355555\mathbf6\\ 6666666*6666666&=4444443555555\mathbf6\\ 66666666*66666666&=444444435555555\mathbf6 \end{align} 6.27
Twee getalpiramides
\begin{align} 6*9&=54&6*7&=42\\ 66*99&=6534&66*77&=4422\\ 666*999&=665334&666*777&=444222\\ 6666*9999&=66653334&6666*7777&=44442222\\ 66666*99999&=6666533334&66666*77777&=4444422222 \end{align} 		6.28
  EEN PUZZEL  

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Neem een getal, vermenigvuldig het met \(9\) en trek \(3\) van het resultaat af. Maak de cijfersom
(tel alle cijfers op tot er één cijfer overblijft). Hoeveel bedraagt de cijfersom ?
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
Cijfersom is \(6.~~\) Een voorbeeld voor het getal \(14228\) : \(~~14228*9=128052~~\) ; \(~~128052-3=128049~~\) en
\(1+2+8+0+4+9=24\to2+4=6\)

6.29
  EEN PUZZEL  

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Er staan een aantal personen op een rij, minder dan \(20\). Ieder draagt een bordje met een
volgnummer en ze staan netjes geschikt van \(1,2,3,\ldots\) tot de laatste. Eén persoon merkt op dat de som
van de bordjes aan zijn linkerkant precies gelijk is aan de som van de bordjes aan zijn rechterkant. Welk
nummer draagt die persoon en hoeveel personen staan in de rij ?
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
De persoon draagt het nummer \(6\). Rechts ziet hij de bordjes \(1+2+3+4+5=15\) en links
de bordjes \(7\) en \(8\), samen ook \(15\). Er zijn dus \(8\) personen in de rij. Zie ook bij . Een variante wordt
besproken bij . Zie ook bij en voor een meer uitgebreide analyse zie : Huizen op een Rij uit het
gedeelte “Puzzelen met Getallen”.

6.30
  EEN WEETJE  

Oplossingen van de vergelijking \(n!=a!*b!\) zijn : \(6!=2!*3!\) en \(10!=6!*7!\)

6.31
  MERKWAARDIG  

De rij \(1\,2\,3\,4\,5\,6\) is nauw verbonden met een rechthoekige driehoek :
\(3\) en \(4\) zijn de rechthoekszijden
\(5\) is de schuine zijde (ook hypothenusa genoemd)
\(6\) is de oppervlakte van de driehoek
\(1\) is de straal van de grootste cirkel die binnenin de driehoek, rakend aan de drie zijden kan getekend
worden (dit is de ingeschreven cirkel)
De combinatie \(12\) is de omtrek van de driehoek \((=3+4+5)\)
Als \(A, B\) en \(C\) de zijden van de rechthoekige driehoek zijn, met \(A\) = de schuine zijde, dan is de straal van
de ingeschreven cirkel \(r=(A+B-C)/2\) en van de omgeschreven cirkel \(R=C/2\) ; hier is \(R=5/2=2,5)\).

6.32

Men kan de cijfers van \(1\) tot en met \(6\) schikken in driehoeksvorm (drie zijden met elk drie cijfers) zodat
de som langs alle zijden dezelfde is. Er zijn vier oplossingen mogelijk :

\(\begin{matrix}&&&&1\\&&&5&&6\\&&3&&4&&2&&\\\end{matrix}\)

som = \(9\)		 \(\begin{matrix}&&&&1\\&&&4&&6\\&&5&&2&&3&&\\\end{matrix}\)

som = \(10\)		 \(\begin{matrix}&&&&6\\&&&1&&3\\&&4&&5&&2&&\\\end{matrix}\)

som = \(11\)		 \(\begin{matrix}&&&&6\\&&&1&&2\\&&5&&3&&4&&\\\end{matrix}\)

som = \(12\)

6.33
  EEN SPELLETJE  

Neem drie opeenvolgende getallen maar wel zodanig dat het grootste een veelvoud van \(3\) is.
Tel de drie getallen op en maak de som van de cijfers. Herhaal dit tot er slechts één cijfer over is.
Dat cijfer is steeds \(6\) !
Een voorbeeld : Kies \((82;83;84)\). Dan is \(82+83+84=249\) en verder \(249=2+4+9=15\) en tenslotte \(1+5=6\).

6.34
Men moet \(6\) tot minimaal de \(38\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact zes zessen verschijnen.
\(6^{38}=371319292745{\color{blue}{6}}59279{\color{blue}{66}}21901{\color{blue}{66}}01{\color{blue}{6}}\qquad\) (OEIS A244603) 		6.35

De grootst gekende verzameling van getallen die twee aan twee opgeteld een kwadraat opleveren bestaat uit \(6\) leden.

\(\{-15863902,17798783,21126338,49064546,82221218,447422978\}\)

Bvb. \(-15863902+447422978=431559076=20774^2\). Zie ook (OEIS A195854)

6.36
\(6\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(3\) oplossingen)
\(17658/2943=27918/4653=34182/5697\)
\(6\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(geen\) oplossingen) 		6.37
\(6\) kan niet geschreven worden als verschil van twee machten \(x^m\) en \(y^n\) waarbij \(x~\&~y\gt1\) en \(m~\&~n\gt1\).
Vermoedelijk volledige lijst betreffende het verschil van twee machten → (OEIS A074981) 		6.38

Er is \(1\) getal van zes cijfers dat gelijk is aan de som van de \(zesde\) macht van zijn cijfers :

\(548834=5\)\(^6\)\(\,+\,4\)\(^6\)\(\,+\,8\)\(^6\)\(\,+\,8\)\(^6\)\(\,+\,3\)\(^6\)\(\,+\,4\)\(^6\)

(OEIS A005188) (OEIS A252648)

6.39

\(6!-1\) is een priemgetal \((=719)\), de derde in zijn soort \((k!-1)~~\) (OEIS A002982)

6.40

Alle getallen van \(1\) tot \(6\) worden gebruikt, hetzij als grondtal hetzij als exponent, in deze unieke gelijkheid

van producten van machten.
\begin{align} 4^3&\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}{\color{tomato}{1^5}}*2^6 \end{align}

6.41
\(6*2\)\(^{6}\)\(\,-\,1~~\) is een Woodall priemgetal, de derde in zijn soort (\(k*2^k-1\)). (OEIS A002234) & (OEIS A003261)
6.42

Voor \(n=6~~\) geldt \(~~{\large\sigma}(n)={\large\sigma}(n+5) ~~\to~~ {\large\sigma}(6)={\large\sigma}(11)=12~~~~({\large\sigma}\) of  'sigma' staat voor som der delers)

\(6\) is de eerste oplossing uit (OEIS A015865)

6.43

\(6!!-1~~\)is een priemgetal van \(2\) cijfers lang (\(47\)). (OEIS A007749) (Dubbelfaculteit)

Pari/GP code : isprime(prod(i=1,6/2,2*i)-1)→ 1 (true)

6.44

Een tetraëder heeft \(6\) ribben, een hexaëder (kubus) heeft \(6\) vlakken en een octaëder heeft \(6\) hoekpunten.

6.45

Als een Heron driehoek wiens zijden en oppervlakte bestaan uit gehele getallen

\(\mathbf{\downarrow}\)

dan is zijn oppervlakte een veelvoud van \(6\).

(Formule van Heron)

6.46

\(6!+6+1\) is een priemgetal, de vijfde in zijn soort \((k!+k+1~~)\) (OEIS A073308)

6.47

\(2\)\(^{6}\)\(\,+\,3\) is een priemgetal \((=67)\), de vijfde in zijn soort \((2^k+3)~~\) (OEIS A057732)

\(2\)\(^{6}\)\(\,-\,3\) is een priemgetal \((=61)\), de vierde in zijn soort \((2^k-3)~~\) (OEIS A050414)

6.48

Som der reciproken van partitiegetallen van \(6\) levert nooit \(1\) op.

Bijgevolg ook geen partities met unieke termen.

(OEIS A028229) (OEIS A125726)

6.49
Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
“Allemaal Getallen”

\(\Huge\bbox[border:0]{⏮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯬}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏴}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏵}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⯮}\)

\(\Huge\bbox[border:0]{⏭}\)

\(6\)\(2*3\)\(4\)\(12\)
\(1,2,3,6\)
\(110_2\)\(6_8\)\(6_{16}\)
\(D(3)=6\)\( \)\( \)

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 22 november 2024