$4=2^2\to$ Machten van $2$ kunnen nooit geschreven worden als som van opeenvolgende gehele getallen

$4=1+3$ (som van opeenvolgende onpare getallen)

$4=1+1+2$ (som van opeenvolgende Fibonaccigetallen)

$4\mathbf{=}1+3\mathbf{=}D(1)+D(2)$ (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

$4=((0;0;0;2)(1;1;1;1))➋\to \{\mathrm{\#}2\}$

$4\mathbf{=}{1}^3+1^3+1^3+1^3\mathbf{=}{1}^5+1^5+1^5+1^5\mathbf{=}\cdots \mathbf{=}{1}^n+1^n+1^n+1^n$

$4\mathbf{=}$(som van vier positieve derdemachten)$\mathbf{=}{1}^3+1^3+1^3+1^3\mathbf{=}(0;0;0;0;0;1;1;1;1)➌\to \{\mathrm{\#}1\}$

$4\mathbf{=}{0}^0+3$

$4=0^0\ast 1^1\ast 2^2$

$4=3^2-2^2-1^2$

$4=2\ast 2$ (het eerste semipriemgetal)

$4\mathbf{=}{2}^3-2^2\mathbf{=}{5}^3-{11}^2\mathbf{=}{6}^2-2^5$

$4\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$$References Sum of Three Cubes

$$Getallen van de vorm $9m+4$ of $9m+5$ kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

$$In dit geval is $m=0(+4)$.

$4\mathbf{=}$(som van vier derdemachten)

$(z>1000)$

$4\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$0^m+1^n+1^n+1^n+1^n(m>0)(m=5,n=5)\mathbf{=}$(als niet van deze vorm dan $z>200)$

${251}^5+(-264{)}^5+{441}^5+{540}^5+(-574{)}^5$

Vier getallen zijn gelijk aan $4$ maal de som van hun cijfers : $12,24,36$ en $48$ ( 12.7 24.3 36.6 48.3 )

Bvb. voor $48$ : $48=4\ast (4+8)$

Voor een analoog geval gelijk aan $7$ maal de som van hun cijfers zie bij 7.8

Merk op dat de getallen dan de omgekeerden zijn van het eerste geval namelijk $21,42,63$ en $84$.

$4^2\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $16$

$4^3\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $64$

In $1+23=4!$ komen de cijfers van $1$ tot $4$ voor.

In de gelijkheid $4^3=1^5\ast 2^6$ komen de cijfers van $1$ tot $6$ voor.

De volgende getallen behouden dezelfde cijfers na vermenigvuldiging met $4$ :
$$\begin{array}{rl}1782\ast 4& =7128\\ 2178\ast 4& =8712\text{(hier is de volgorde van de cijfers precies omgekeerd)}\\ 16782\ast 4& =67128\\ 16799\ast 4& =67196\\ 16979\ast 4& =67916\\ 21978\ast 4& =87912\text{(idem dito)}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{4}^2-1& =15=15\ast 1\\ 4^4-1& =255=15\ast 17\\ 4^6-1& =4095=15\ast 273\\ 4^8-1& =65535=15\ast 4369\\ 4^{10}-1& =1048575=15\ast 69905\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{4}^3-1& =63=3\ast 21\\ 4^5-1& =1023=3\ast 341\end{array}$$

$Opgave$
Het probleem van de “vier vieren” is een klassieker. Men dient de getallen $1,2,3,4,5,\dots$ (zo ver
mogelijk) te vormen met behulp van $4$ maal het cijfer $4$. De keuze van $4$ is mede bepaald doordat uit $4$
de vierkantswortel $2$ kan worden getrokken. Men beschikt over de bewerkingen optellen, aftrekken,
vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen, worteltrekken en vaak ook over de volgende notaties :
$4!=1\ast 2\ast 3\ast 4=24$
concatenatie of aaneenschakeling : met $2$ vieren kan men ook het getal $44$ maken
$2=\sqrt{4}$ (In Engelstalige teksten vindt men ook $\text{SQR}(4)=2$ (vierkantswortel))
$Oplossing$
In vele gevallen zijn verschillende oplossingen mogelijk. Enkele voorbeelden :
$1=(4/4)\ast (4/4)=44/44$
$2=(4/4)+(4/4)$
$3=(4+4+4)/4$
$4=\sqrt{4}+\sqrt{4}+4-4$ en ook $4+4\ast (4-4)$
$5=\sqrt{4}+\sqrt{4}+4/4$ en ook $(4+4\ast 4)/4$
$6=(4+4)/4+4$
$7=4+4-4/4$
$8=4+4+4-4$
$9=4+4+4/4$
$10=(44-4)/4$
$\cdot \cdot =\cdots$
Om het getal $19$ te vormen is de bewerking faculteit nodig : $19=4!-4-4/4$. Immers, de
uitdrukking $19=4^2+4-4/4$ bevat een ${}^2$ (dus een cijfer $2$) van het kwadraat.
Een meer uitgebreide behandeling van dit topic en varianten vindt men in het hoofdstuk Vier vieren uit
“Puzzelen met Getallen”.

Als $n$ een samengesteld getal is, dan is $(n-1)!$ deelbaar door $n$. Met één uitzondering :
voor $n=4$ is $(n-1)!=3!=3\ast 2$ en dat is geen veelvoud van $4$.

Elk getal dat een viervoud is, is gelijk aan het verschil van twee kwadraten.
Bvb. $12=3\ast 4$ en $12=4^2-2^2$
Voor wie graag een formule heeft : $4k=y^2-z^2$ waarbij $y=k+1$ en $z=k-1$
Met $k=7$ heeft men dus dadelijk: $4\ast 7=28=(k+1{)}^2+(k-1{)}^2=8^2-6^2=64-36$

$4$ als som van priemgetallen kan louter op deze enkele wijze :

$$2primes[\begin{array}{c}\\ & 2& +& 2\\ \end{array}$$

Een $vierde$ macht eindigt op één van de volgende cijfers : $0,1,5,6$

Er zijn $3$ getallen van vier cijfers die gelijk zijn aan de som van de $vierde$ macht van hun cijfers :

$1634=1$${}^4$$+6$${}^4$$+3$${}^4$$+4$${}^4$$$

De overige twee getallen zijn : $8208,9474$

(OEIS A005188) (OEIS A252648) (OEIS A052455)

$4!-1$ is een priemgetal $(=23)$, de tweede in zijn soort $(k!-1)$ (OEIS A002982)

$4=2^2=\frac{3!-2!}{1!}=\frac{4!}{2!\ast 3!!}$

Verbind alle hoekpunten van een reguliere vierhoek (tetragon) diagonaalsgewijs met elkaar.
Het totale aantal regio's dat daardoor ontstaat is exact $4$. (OEIS A007678) (Interactieve illustratie)

$4!!-1$is een priemgetal van $1$ cijfer lang ($7$). (OEIS A007749) (Dubbelfaculteit)

Pari/GP code : isprime(prod(i=1,4/2,2*i)-1) → 1 (true)

$F(4)=3$is een Fibonacci priemgetal. (OEIS A001605) (OEIS A005478)

Som der reciproken van partitiegetallen van $4$ is $1$ op één wijze.

Dit is evenwel geen partitie met unieke termen; integendeel alle termen zijn identiek.

$(1)4=2+2$ en $1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$

(OEIS A125726)

The tetraëder heeft $4$ hoekpunten and $4$ vlakken.

$4+5+6=7+8=15$

Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende gehele getallen.

Dit is een eigenschap van de kwadraten zoals $k=4=2^2$. De linkersom heeft $\sqrt{k}+1$ termen en de rechtersom $\sqrt{k}$.

(OEIS A059270)

Kleinste som waarin elke term een vierdemacht is. (1988 - Roger Frye)

${95800}^4+{217519}^4+{414560}^4={422481}^4$

$4$ is de som van de 'som der delers' van de getallen van $1$ tot $2$ :

$(1)+(1+2)$

(OEIS A024916)

$4!+4+1$ is een priemgetal, de vierde in zijn soort $(k!+k+1)$ (OEIS A073308)

$2$${}^4$$+3$ is een priemgetal $(=19)$, de vierde in zijn soort $(2^k+3)$ (OEIS A057732)

$2$${}^4$$-3$ is een priemgetal $(=13)$, de tweede in zijn soort $(2^k-3)$ (OEIS A050414)

$\frac{n^4+n^2}{2\ast n+1}=4$ voor $n=2$, de enige oplossing met een geheel getal als quotiënt.

$4$${}^4$$+4$${}^6$$+4$${}^2$$+4$${}^4$$\mathbf{=}4624$ (OEIS A236067)
Twee oplossingen [$4624,595968$] (OEIS A139410)

$4$ heeft een priem aantal partities, namelijk $(5)$ (OEIS A046063) (OEIS A049575)

Pari/GP code : numbpart(4)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^4$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left(7^4\right)=7sdc\left({22}^4\right)=22sdc\left({25}^4\right)=25$

$sdc\left({28}^4\right)=28sdc\left({36}^4\right)=36$

(OEIS A055575)

Met $4$ brengen we de som $\sum _{i\text{⩽}n}(\frac{1}{i})$ net voorbij de $2\to \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=2,083333\dots$

(Wikipedia : Harmonische rij) (OEIS A002387)

$4+5+6+7+8+9+\cdots +24+25+26+27+28+29=4$^^$29=429$
(OEIS A186074)

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$4\mathbf{=}1+1+1+1$
$4\mathbf{=}2+2\mathbf{=}2\ast 2$
$4\mathbf{=}3+3/3$
$4\mathbf{=}4$
$4\mathbf{=}5-5/5$
$4\mathbf{=}6-(6+6)/6$
$4\mathbf{=}77/7-7$
$4\mathbf{=}8\ast 8/(8+8)$
$4\mathbf{=}(9\ast 9-9)/(9+9)$

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$4=12-34-56-7+89$
$4=98-7-65-43+21$

Elk priemgetal van de vorm $4\ast k+1$ is de som van twee kwadraten.
$13\mathbf{=}4\ast 3+1\mathbf{=}{2}^2+3^2$
$73\mathbf{=}4\ast 18+1\mathbf{=}{3}^2+8^2$
$137\mathbf{=}4\ast 34+1\mathbf{=}{4}^2+{11}^2$
(OEIS A002144)

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $4^2$ enkel met operatoren $+,-,\ast ,/,(),$^^$$
$4^2\mathbf{=}(2$^^$4)-(4\ast 2)$

Het omgekeerde van $2^4$ is een priemgetal $\to 61$

Pari/GP code : isprime(fromdigits(Vecrev(digits(2^4))))$\to 1=$ true

(OEIS A057708)

Er zijn $4$ derdemachtswortels en hun derdemachten met wederzijdse uitsluiting van dezelfde cijfers (Eng. Exclusionary
Cubes). Een cijfer uit de decimale expansie van het grondtal komt niet voor in de decimale expansie van de derdemacht
en vice versa. Bijkomende restrictie is dat in het grondtal gecombineerd met zijn derdemacht een cijfer maar één keer
mag voorkomen. Het grootste geval is ${27}^3=19683$.
Een overzichtelijk OEIS referentietabel is te hier te vinden (Referentie OEIS tabel)

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$