\(3=1+2\) (som van opeenvolgende gehele getallen) \(3=1+2\) (som van twee opeenvolgende Fibonaccigetallen en is daardoor zelf een getal van dat type) \(3=(0;1;1;1)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#1\}\) \(3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[2px,border:1px brown dashed]{2^2-1^2}\) \(3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[peachpuff,3px]{1^2+2^1}\) ( Een Leylandgetal d.w.z. van de vorm \(x^y+y^x\) (OEIS A076980) ; \(\qquad\)in het geval van \(x^y-y^x\gt0\) spreken van een Leylandgetal van de tweede soort (OEIS A045575) ) \(3=1!+2!\) (som van de faculteiten van de twee vorige getallen; enkel \(2=0!+1!\) heeft ook deze eigenschap) \(3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4+4-5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^3+4^3-5^3\) \(3=(1^3+2^3)/(1+2)\) \(3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[#f4f4f4,3px,border:1px solid]{1^3+1^3+1^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(0;0;0;0;0;0;1;1;1)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}\) \(3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^7-5^3~~\) (enige oplossing met limieten grondtal \(9999\) en exponent \(19\) ) | 3.1 | |||||||||
\(3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten) \(\qquad3\) oplossingen bekend \(\qquad\)References Sum of Three Cubes \(\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{1^3+1^3+1^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{4^3+4^3+(-5)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad\)Spectaculairder is deze derde oplossing : \(\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{(-472715493453327032)^3+(-569936821113563493509)^3+569936821221962380720^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten) \(\qquad\bbox[3px,border:1px blue solid]{1^m+1^m+1^m+k^5+(-k)^5}~~(m=5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(als niet van deze vorm dan \(z\gt200)\) | 3.2 | |||||||||
| Drie punten die niet op één rechte lijn liggen, bepalen een driehoek. In de vlakke meetkunde zijn driehoeken de figuren waarvoor de meest uitgebreide collectie aan eigenschappen (merkwaardige lijnen, merkwaardige punten, enz.) bestaat. | 3.3 | |||||||||
| Een beroemd en onopgelost probleem is de driedeling of trisectie van een willekeurige hoek. Reeds de oude Grieken hebben zich daarover het hoofd gebroken : er is geen oplossing mogelijk als men voor de constructie enkel een passer en een niet-gegradueerde liniaal mag gebruiken. Met andere hulpmiddelen lukt het wel om een hoek in drie te delen. Voor de volledigheid : met sommige bijzondere hoeken lukt de driedeling wel met passer en liniaal, bvb. voor een hoek van \(90\)°. | 3.4 | |||||||||
| \(3*(A+B)=A*B\) heeft twee oplossingen in gehele getallen : \(3*(4+12)=4*12~~\) en \(~~3*(6+6)=6*6\) | 3.5 | |||||||||
| De vergelijking \(x^3+y^3=z^3\) heeft geen enkele oplossing in gehele getallen voor \(x,y\) en \(z\). Dit geldt trouwens voor alle exponenten groter dan \(2\) (Stelling van FERMAT-WILES) | 3.6 | |||||||||
\(3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1+3+5\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9\) \(3^2=1^2+2^2+2^2\) \(3^2=3!+3\) \(3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}7+9+11\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}27\) | 3.7 | |||||||||
| \(3\) is het kleinste oneven priemgetal. | 3.8 | |||||||||
| \(3\) is ook het enige priemgetal dat gelijk is aan een kwadraat minus één : \(3=2^2-1\). Immers, een kwadraat minus \(1\) kan worden ontbonden in twee factoren : \(a^2-1=(a+1)*(a–1)\) en dit kan enkel een priemgetal zijn als \((a-1)=1\). | 3.9 | |||||||||
\(3=(2^3+2^6)/(2^4+2^3)\) ( uitdrukking met enkel machten van \(2\) ) | 3.10 | |||||||||
\(3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(9\) \(3^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(27\) | 3.11 | |||||||||
| \(3^3+4^3+5^3=6^3\) | 3.12 | |||||||||
| Er zijn \(3\) oplossingen voor de som \(1/A+1/B+1/C=1\) waarbij \(A;B\) en \(C\) gehele getallen zijn. Met gebruikmaking van de notatie \((A,B,C)\) zijn de oplossingen : \((2,3,6)\,(2,4,4)\) en \((3,3,3)\). Zie ook bij voor een analoog probleem. | 3.13 | |||||||||
| \(3^0+3^1+3^2+3^3+3^4=11^2~~\) (\(3\) is het enige priemgetal \(p\) waarvoor \(1+p+p^2+p^3+p^4\) een kwadraat is) | 3.14 | |||||||||
| \(3\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(2\) oplossingen) \(17469/5823=17496/5832=3\) \(3\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(6\) oplossingen) \(50382/16794=53082/17694=61749/20583=69174/23058=91746/30582=96174/32058=3\) | 3.15 | |||||||||
Alle even machten van \(2\), verminderd met \(1\), zijn deelbaar door \(3\) (zie voorbeelden bij ) \(\bbox[3px,border:1px solid]{2^n-1^n}\) | 3.16 | |||||||||
| In de opeenvolgende machten van \(3\) komt het cijfer \(3\) niet meer voor : \(9,27,81,729,2187,\ldots\). Pas bij \(3^9=19683\) komt er opnieuw een \(3\) tevoorschijn. | 3.17 | |||||||||
| De volgende getallen behouden dezelfde cijfers na vermenigvuldiging met \(3\) : \begin{align} 51*3&=153\\ 501*3&=1503\\ 510*3&=1530\\ 4128*3&=12384 \end{align} | 3.18 | |||||||||
| Hier hebben het vermenigvuldigtal en het product dezelfde cijfers : \(3*142857=428571\) | 3.19 | |||||||||
| Het enige getal dat gelijk is aan \(3\) maal de som van zijn cijfers is \(27=3*(2+7)\) | 3.20 | |||||||||
| Er zijn \(2\) priemgetallen die niet groter dan \(3\) zijn : \(2\) en \(3\). Van alle getallen die niet groter dan \(3\) zijn, zijn er eveneens \(2\) die met \(3\) relatief priem zijn (hun grootste gemene deler is \(1\)), namelijk \(1\) en \(2\). Zoals het getal \(3\) zijn er nog \(6\) andere getallen met deze eigenschap : \(2,4,8,14,20\) en \(90\). Zie ook bij deze getallen | 3.21 | |||||||||
| \(3!+1\) is een priemgetal \((=7)\), de vierde in zijn soort \((k!+1)~~\) (OEIS A002981) èn \(3!-1\) is ook een priemgetal \((=5)\), de eerste in zijn soort \((k!-1)~~\) (OEIS A002982) Het getal \(3\) is de enigste getal dat aldus een priemgetallentweeling oplevert (\(5\) en \(7\)). | 3.22 | |||||||||
| \(\Large{\frac{1}{3}=\frac{1+3}{5+7}=\frac{1+3+5}{7+9+11}=\frac{1+3+5+7}{9+11+13+15}=\frac{1+3+5+7+9}{11+13+15+17+19}=\cdots}\) De teller is immers gelijk aan \(n^2\,(n=1,2,3,\ldots)\) en de noemer aan \(3*n^2\) zodat de breuk steeds gelijk is aan \(1/3\). | 3.23 | |||||||||
Het kleinste magische vierkant is van orde \(3\) en bevat de cijfers van \(1\) tot \(9\) :
| 3.24 | |||||||||
| \(3^4*425=34425\) (zelfde cijfers in dezelfde volgorde) | 3.25 | |||||||||
\(3\) is de kleinste rechthoekszijde van de kleinste rechthoekige driehoek met gehele getallen als zijden \((3;4;5)\) | 3.26 | |||||||||
| In een jaar zijn ten hoogste \(drie\) vrijdagen de dertiende. | 3.27 | |||||||||
| Met de gewichten van \(1,3,9\) en \(27\,\text{kg}\) kan men van \(1\) tot \(40\,\text{kg}\) wegen op een weegschaal met \(2\) schalen. Zo is bvb \(7\,\text{kg}\) te wegen door op de ene schaal \(9\,\text{kg}\) en \(1\,\text{kg}\) en op de andere \(3\,\text{kg}\) én het te wegen item te zetten. De bedoelde gewichten \(1,3,9\) en \(27\) zijn niets anders dan de rij \(3^0,3^1,3^2,3^3\). Zie ook een variante bij | 3.28 | |||||||||
| \(\sqrt3+\sqrt3+\sqrt3=\sqrt3*\sqrt3*\sqrt3\) | 3.29 | |||||||||
|
\(3^0\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1\) \(3^2=2+3+4\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}9\) \(3^4=5+6+7+8+9+10+11+12+13\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}81\) \(3^6=14+15+16+17+18+19+\cdots+35+36+37+38+39+40\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}729\) (pare machten van \(3\); achtereenvolgens \(3^0,3^1,3^2,3^3,\ldots\) termen) | 3.30 | |||||||||
| Twee getallenpiramides \begin{align} 3*3&=09\\ 33*33&=1089\\ 333*333&=110889\\ 3333*3333&=11108889\\ 33333*33333&=1111088889\\ \cdots&=\cdots\\ 3_{[n]}*3_{[n]}&=1_{[n-1]}\_0\_8_{[n-1]}\_9 \end{align} \begin{align} 3*37&=111\\ 33*3367&=111\;111\\ 333*333667&=111\;111\;111\\ 3333*333367&=111\;111\;111\;111\\ 33333*3333367&=111\;111\;111\;111\;111\\ \cdots&=\cdots\\ \end{align} | 3.31 | |||||||||
| EEN PUZZEL
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\) | 3.32 | |||||||||
| WETENSWAARD
Het product van \(drie\) opeenvolgende getallen kan nooit een kwadraat zijn. | 3.33 | |||||||||
| \(3\) schrijven met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \(4\) : \(~~2*3+1-4~~=~~4-2/(3-1)~~=~~\) Vindt jij er meer ? | 3.34 | |||||||||
| Men moet \(3\) tot minimaal de \(21\)ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact drie drieën verschijnen. \(3^{21}=10460{\color{blue}{3}}5{\color{blue}{3}}20{\color{blue}{3}}\qquad\) (OEIS A244603) | 3.35 | |||||||||
De eerste keer dat er \(3\) opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen de priemgetallen \(7\) en \(11\) | 3.36 | |||||||||
Er zijn \(4\) getallen van drie cijfers die gelijk zijn aan de som van de \(derde\) macht van hun cijfers : \(153=1\)\(^3\)\(\,+\,5\)\(^3\)\(\,+\,3\)\(^3\) De overige drie getallen zijn : \(370,371,407\) | 3.37 | |||||||||
| Uitdrukkingen met getallentrios waarbij de som van hun kwadraten een veelvoud is van hun product. Een voorbeeld met veelvoud \(3~~\) (en het getal \(1\) als constante term in de trio's) : \begin{align} 3&=(1^2+1^2+1^2)/(1*1*1)\\ 3&=(1^2+1^2+2^2)/(1*1*2)\\ 3&=(1^2+2^2+5^2)/(1*2*5)\\ 3&=(1^2+5^2+13^2)/(1*5*13)\\ 3&=(1^2+13^2+34^2)/(1*13*34)\\ 3&=(1^2+34^2+89^2)/(1*34*89) \end{align} | 3.38 | |||||||||
\(3*10\)\(^{3}\)\(\,-\,1~~\) is een veralgemeend Woodall priemgetal, de tweede in zijn soort (\(k*10^k-1\)). | 3.39 | |||||||||
\(3*10\)\(^{3}\)\(\,+\,1~~\) is een veralgemeend Cullen priemgetal, de tweede in zijn soort (\(k*10^k+1\)). (OEIS A007647) | 3.40 | |||||||||
\(2\)\(^{3}\)\(\,-\,3~~\) is een priemgetal, de tweede in zijn soort. (OEIS A048744) | 3.41 | |||||||||
\(2\)\(^{3}\)\(\,+\,3~~\) is een priemgetal, de tweede in zijn soort. (OEIS A052007) | 3.42 | |||||||||
| \(3*2\)\(^{3}\)\(\,-\,1~~\) is een Woodall priemgetal, de tweede in zijn soort (\(k*2^k-1\)). (OEIS A002234) & (OEIS A003261) | 3.43 | |||||||||
\(10\)\(^{3+1}\)\(\,-\,1\) is deelbaar door \(3\). (OEIS A175203) | 3.44 | |||||||||
In deze Numberphile Youtube Video 3 is everywhere - Numberphile bewijst James Grime dat bijna alle getallen | 3.45 | |||||||||
\(F(3)~=~2~~\)is een Fibonacci priemgetal. (OEIS A001605) (OEIS A005478) | 3.46 | |||||||||
\(10\)\(^{3}\)\(\,-\,3~~\) is een priemgetal, de eerste in zijn soort (\(10^k-k\)). (OEIS A110065) | 3.47 | |||||||||
\(100\)\(^{3}\)\(\,+\,3\) is een priemgetal, de tweede in zijn soort (\(100^k+k\)). De reeks gaat als volgt \(k=1,3,9,49,\ldots\) | 3.48 | |||||||||
\(3=1\)\(^1\)\(+2\) is een priemgetal, de eerste in zijn soort (\(k^k+2\)). (OEIS A100407) | 3.49 | |||||||||
Primoriaal van \(3\) min \(1\) is een priemgetal. \(2*{\color{blue}{3}}-1=5\) | 3.50 | |||||||||
\({\color{blue}{3^2}}+4^2=5^2={\color{tomato}{25}}\) Gelijkheid van twee sommen met doorlopend opeenvolgende kwadraten. De eerste term van de linkersom is (OEIS A014105). De eerste term van de rechtersom is (OEIS A001804). \(2*m-1=2*5-1=9=3^2\) is een perfect kwadraat. Het verschil \(5-3=2\) geeft het aantal termen weer van de linkersom. En ééntje minder in de rechtersom. | 3.51 | |||||||||
\(2\)\(^{3}\)\(\,+\,3\) is een priemgetal \((=11)\), de derde in zijn soort \((2^k+3)~~\) (OEIS A057732) \(2\)\(^{3}\)\(\,-\,3\) is een priemgetal \((=5)\), de eerste in zijn soort \((2^k-3)~~\) (OEIS A050414) | 3.52 | |||||||||
\(2\)\(^{3-1}\)\(\,+\,3\) is een priemgetal \((=7)\), de tweede in zijn soort \((2^{k-1}+k)~~\) (OEIS A061422) | 3.53 | |||||||||
| \((3^{3}-3!)/3\) is een priemgetal \((=7)\), de eerste in zijn soort \((p^p-p!)/p)~~\) (OEIS A137999) | 3.54 | |||||||||
| \(3\) deelt \(10\)\(^{3+1}\)\(\,-\,1\), de tweede in zijn soort \((10^{k+1}-1)~~\) (OEIS A175203) | 3.55 | |||||||||
Som der reciproken van partitiegetallen van \(3\) levert nooit \(1\) op. Bijgevolg ook geen partities met unieke termen. | 3.56 | |||||||||
\((3\)\(^{3}\)\(+1)/(3+1)\) is een priemgetal \((=7)\), de eerste in zijn soort \((p^p+1)/(p+1)~~\) (OEIS A056826) | 3.57 | |||||||||
\(3!+2\)\(^{3}\)\(\,-\,1\) is een priemgetal \((=13)\), de derde in zijn soort \((k!+2^k-1)~~\) (OEIS A186449) | 3.58 | |||||||||
\(3\)\(^{1}\)\(+3\)\(^{2}\)\(\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}12~~\) (OEIS A236067) | 3.59 | |||||||||
\(3^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}0^3+1^3+2^3~~\) (som van opeenvolgende derdemachten. Zie ook bij ) | 3.60 |
| Schakelaar \(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\) “Allemaal Getallen” |
|---|
| \(3\) | \(3\) | \(2\) | \(4\) |
| \(1,3\) | |||
| Priemgetal | \(11_2\) | \(3_{16}\) | |
| \(D(2)=3\) | \(F(4)=3\) | \( \) | |
| Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email) Laatste update 22 november 2024 |