\(2=1+1\) (som van twee opeenvolgende Fibonaccigetallen en is daardoor zelf een getal van dat type) \(2=(0;0;1;1)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#1\}\) \(2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\bbox[#f4f4f4,3px,border:1px solid]{0^3+1^3+1^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(0;0;0;0;0;0;0;1;1)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}\) \(2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^0+2^0\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}0^{n\gt0}+2^1\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}1^n+1^m\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}2^2-2^1\) \(2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}3^3-5^2\) ( waarschijnlijk de enige niet triviale oplossing met resultaat \(2\) ) | 2.1 | ||
\(2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten) \(\qquad\)Er zijn \(\infty\) oplossingen mogelijk omwille van de parametrische vergelijking. \(\qquad\)References Sum of Three Cubes \(\qquad\)Er is een algemene formule die \(2\) oplevert als som van drie derdemachten; het volstaat om een willekeurige \(\qquad\)waarde voor \(k\) in te vullen in deze formule : \({2=(1+6k^3)}^3+{(1-6k^3)}^3+{(-6k^2)}^3\) \(\qquad\)Maar daarnaast bestaan er ook minder voor de hand liggende sommen die niet tot deze familie behoren : \(\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{1214928^3+3480205^3+(-3528875)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{37404275617^3+(-25282289375)^3+(-33071554596)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(\qquad\bbox[3px,border:1px solid]{3737830626090^3+1490220318001^3+(-3815176160999)^3}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) \(2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten) \(\qquad\bbox[3px,border:1px blue solid]{0^m+1^n+1^n+k^5+(-k)^5}~~(m\gt0)~~(m=5,n=5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\) (als niet van deze vorm dan \(z\gt200\)) | 2.2 | ||
| \(2\) is het kleinste priemgetal, en bovendien is \(2\) het enige even priemgetal. Alle andere even getallen zijn immers een veelvoud van \(2\) en kunnen dus geen priemgetal zijn (ze hebben ten minste drie delers). Dat betekent ook dat vanaf het priemgetal \(3\) het verschil tussen twee opeenvolgende priemgetallen minimaal \(2\) is (dergelijke priemgetallen die \(2\) verschillen, heten priemtweelingen. Zie ook bij ) | 2.3 | ||
| Uit de vlakke meetkunde kennen we nog de stelling dat een rechte (lijn) volledig bepaald wordt door \(2\) punten. | 2.4 | ||
\(2^2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(4\) \(2^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\to\) als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal \(8\) | 2.5 | ||
En dit is een uniek patroon : \(2^4=4^2\) \(2^6\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}4^3\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}8^2\) | 2.6 | ||
| \(2=(3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2)/(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2)\) \(2=(10^2+11^2+12^2+13^2+14^2)/(10^2+11^2+12^2)\) | 2.7 | ||
| \(2\) is het kleinste pronic getal : \(2=1*2\) | 2.8 | ||
| Het enige getal dat gelijk is aan \(2\) maal de som van zijn cijfers is \(18\) : \(18=2*(1+8)\). Zie ook bij | 2.9 | ||
| \(2!=2\) \(!2=1\) (subfaculteit → zie (Wikipedia) en (OEIS A000166) ) \(2!+1\) is een priemgetal \((=3)\), de derde in zijn soort \((k!+1)~~\) (OEIS A002981) | 2.10 | ||
| \(2\) kan niet geschreven worden als som van verschillende driehoeksgetallen. Zie voor meer toelichting bij | 2.11 | ||
| Elk getal dat geen macht van \(2\) is, kan steeds geschreven worden als de som van twee of meer opeenvolgende getallen : \(6=1+2+3~~\);\(~~7=3+4\) ; maar bvb. met \(8=2^3\) lukt dat niet. | 2.12 | ||
| Een tweede macht of kwadraat eindigt op één van de volgende cijfers : \(0,1,4,5,6,9\). Men kan dus snel zien aan het laatste cijfer van een groot getal of er een kans is dat het een kwadraat is. Het bepalen of een getal een kwadraat is kan nog verfijnd worden met de volgende regel : De laatste twee cijfers van het getal moeten zijn : | 2.13 | ||
| Vermoeden van GOLDBACH : Elk veelvoud van \(2\) (dus niet \(2\) zelf) is te schrijven als som van \(2\) priemgetallen, bvb. \(16=5+11\) en ook \(3+13\) | 2.14 | ||
| \(2*(A+B)=A*B\) heeft twee oplossingen in gehele getallen : \(2*(3+6)=3*6~~\) en \(~~2*(4+4)=4*4\) | 2.15 | ||
| Alle even machten van \(2\), verminderd met \(1\), zijn deelbaar door \(3\) : \begin{align}2^2-1&=3\\ 2^4-1&=15\\ 2^6-1&=63\\ 2^8-1&=255\\ 2^{10}-1&=1023\\ \cdots&=\cdots\end{align} | 2.16 | ||
| \(2\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(1\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(12\) oplossingen) \(13458/6729=13584/6792=13854/6927=14538/7269=14586/7293=14658/7329=\) \(15384/7692=15846/7923=15864/7932=18534/9267=18546/9273=18654/9327=2\) \(2\) als resultaat met breuken waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) exact één keer voorkomen : (\(48\) oplossingen) \(26970/13485=27096/13548=27690/13845=29076/14538=29370/14685=29670/14835=\) \(29706/14853=29730/14865=30972/15486=32970/16485=37092/18546=37290/18645=\) \(41358/20679=41538/20769=41586/20793=46158/23079=53418/26709=53814/26907=\) \(54138/27069=54186/27093=54618/27309=58134/29067=58146/29073=58614/29307=\) \(61458/30729=61584/30792=61854/30927=62970/31485=64158/32079=65418/32709=\) \(65814/32907=69702/34851=70296/35148=70962/35481=76290/38145=76902/38451=\) \(90276/45138=90372/45186=90762/45381=92370/46185=93702/46851=96270/48135=\) \(96702/48351=97026/48513=97032/48516=97062/48531=97230/48615=97302/48651=2\) | 2.17 | ||
| Om het getal \(105263157894736842\) met \(2\) te vermenigvuldigen volstaat het om het cijfer \(2\) op het einde helemaal vooraan te schrijven : = \(\mathbf210526315789473684\). Het bewuste getal is afkomstig van de decimale ontwikkeling \({\Large\frac{2}{19}}=0,\overline{105263157894736842}\;\overline{105263157894736842}\;\overline{10\ldots}\) | 2.18 | ||
| Delen en aftrekken geeft hetzelfde resultaat : \(4/2=4-2\) | 2.19 | ||
| Optellen en vermenigvuldigen heeft hetzelfde resultaat : \(2+2=2*2\) Dit is samen met het triviale geval \(0+0=0*0\) het enige geval met twee gehele getallen. Met meerdere gehele getallen heeft men bvb. de volgende gelijkheden : \begin{align} 1+2+3&=1*2*3\\ 1+1+2+4&=1*1*2*4\\ 1+1+1+2+5&=1*1*1*2*5\\ 1+1+1+3+3&=1*1*1*3*3\\ 1+1+2+2+2&=1*1*2*2*2\\ 1+1+1+1+2+6&=1*1*1*1*2*6 \end{align} Met breuken gecombineerd heeft men bvb. \begin{align} 2+2+{4\over3}&=2*2*{4\over3}\\ 2+2+{4\over3}+{16\over13}&=2*2*{4\over3}*{16\over13}\\ 2+2+{4\over3}+{16\over13}+{256\over217}&=2*2*{4\over3}*{16\over13}*{256\over217} \end{align} Met twee getallen kan men de volgende formule toepassen: \(A+A/B=A*A/B\) op voorwaarde dat \(A=B+1\) Bvb. met \(A=5\) en \(B=4\) komt er : \(5+5/4=5*5/4=25/4\) Met \(A=2\) en \(B=1\) vindt men zoals hoger : \(2+2/1=2*2/1\) of korter \(2+2=2*2\) | 2.20 | ||
| \(2=1+\Large{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\cdots}\) | 2.21 | ||
| Er is één priemgetal dat niet groter dan \(2\) is (namelijk \(2\) zelf). Van alle getallen die niet groter dan \(2\) zijn, is er eveneens één dat met \(2\) relatief priem is (hun grootste gemene deler is \(1\)), namelijk \(1\). Zoals het getal \(2\) zijn er nog \(6\) andere getallen met deze eigenschap : \(3,4,8,14,20\) en \(90\). Zie ook bij deze getallen | 2.22 | ||
| Voor elk getal \(\text{N}\) groter dan \(1\) is er steeds minimaal één priemgetal tussen \(\text{N}\) en \(2\text{N}\). | 2.23 | ||
| \(\sqrt2=1,414213562\ldots\); dit is in het begin een aaneenschakeling van zevenvouden : \(14,14,21,35\) | 2.24 | ||
| Het getal \(2\) komt voor in de formule van EULER voor veelvlakken (dit zijn ruimtelijke figuren die begrensd zijn door veelhoeken). Als men \(\text{H}\) het aantal hoekpunten noemt, \(\text{R}\) het aantal ribben en \(\text{Z}\) het aantal zijvlakken, dan geldt \(\text{H}+\text{Z}=\text{R}+2\) (bvb. voor een kubus is \(\text{H}=8,\text{Z}=6\) en \(\text{R}=12\) en \(8+6=12+2)\). | 2.25 | ||
| EEN PUZZEL
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\) | 2.26 | ||
| EEN PUZZEL
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\) | 2.27 | ||
| MERKWAARDIG
Berekent men de opeenvolgende machten van \(2\) dan moet men gaan tot \(2^{51}=2251799813685248\) om voor de eerste keer hierin de cijfers van \(1\) tot \(9\) te vinden. De kleinste macht van \(2\) waarin de cijfers van \(0\) tot \(9\) voorkomen is \(2^{68} = 295147905179352825856\) | 2.28 | ||
| \(2\) schrijven met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \(4\) : \(~~1+2+3-4~~=~~4-3+2-1~~=~~\sqrt4+1+2-3~~=~~\sqrt4*\Large{{3-1\over2}}~~=~~\) Vindt jij er meer ? | 2.29 | ||
| Men moet \(2\) tot minimaal de \(18\)de macht verheffen opdat in de decimale expansie exact twee tweeën verschijnen. \(2^{18}={\color{blue}{2}}6{\color{blue}{2}}144\qquad\) (OEIS A244603) | 2.30 | ||
| Vergelijkingen van de vorm \({\text{A}}^a+{\text{B}}^{\,a}={\text{C}}^{\,a}\) hebben enkel oplossingen in gehele getallen voor de gevallen \(a=1\) en \(a=2\). Voor \(a=3\) of hoger bestaan er geen oplossingen in gehele getallen. Dit is de fameuze Stelling van FERMAT die na honderden jaren uiteindelijk werd bewezen door Andrew WILES. Oplossingen voor \(a=1\) zijn triviaal (de som van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal op); voor \(a=2\) krijgt men oneindig veel oplossingen die allemaal corresponderen met de zijden van rechthoekige driehoeken, ook Pythagorese driehoeken genoemd. Het kleinste en tevens bekendste geval is \(3^2+4^2=5^2\). | 2.31 | ||
Curiosum → geen enkele van deze derdemachten hebben een \(2\) in hun decimale expansie \begin{align} 2^3&=8\\ 22^3&=10648\\ 222^3&=10941048\\ 2222^3&=10970645048\\ 22222^3&=10973607685048\\ 222222^3&=10973903978085048 \end{align} | 2.32 | ||
Enkel het cijfer \(2\) wordt gebruikt in deze expressies
| 2.33 | ||
\(2*10\)\(^{2}\)\(\,-\,1~~\) is een veralgemeend Woodall priemgetal, de eerste in zijn soort (\(k*10^k-1\)). | 2.34 | ||
\(2\)\(^{2}\)\(\,-\,2=2~~\) is een (even) priemgetal, de eerste in zijn soort \((2^k-k)\). (OEIS A048744) | 2.35 | ||
\(2*2\)\(^{2}\)\(\,-\,1~~\) is een Woodall priemgetal, de eerste in zijn soort (\(k*2^k-1\)). (OEIS A002234) & (OEIS A003261) | 2.36 | ||
\(2\)\(^2\)\(-2=2\) is een priemgetal, de eerste in zijn soort (\(k^k-2\)). (OEIS A100408) | 2.37 | ||
\(2=\sqrt{1+\sqrt{6+\sqrt{9}}}\) | 2.38 | ||
\(2=\left(\sqrt{2-\sqrt3}-\sqrt{2+\sqrt3}~\right)\raise4pt{^2}\) | 2.39 | ||
\(2={\Large\frac{3^2~+~4^2~+~5^2~+~6^2~+~7^2~+~8^2~+~9^2}{1^2~+~2^2~+~3^2~+~4^2~+~5^2~+~6^2~+~7^2}}\) Pari/GP code : sum(i=3,9,i^2)/sum(i=1,7,i^2) | 2.40 | ||
\(\begin{align}2\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\left({\frac{1}{1}}\right)^3+\left({\frac{1}{1}}\right)^3\end{align}\) (Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499) \((x^3+y^3)/z^3=n~\to~\) [x waarde] (OEIS A190356) [y waarde] (OEIS A190580) [z waarde] (OEIS A190581) Kleinste positieve oplossingen \(~\to~\) [x waarde] (OEIS A254326) [y waarde] (OEIS A254324) | 2.41 | ||
\(2!+2+1\) is een priemgetal, de derde in zijn soort \((k!+k+1)~~\) (OEIS A073308) | 2.42 | ||
\(2\)\(^{2}\)\(\,+\,3\) is een priemgetal \((=7)\), de tweede in zijn soort \((2^k+3)~~\) (OEIS A057732) | 2.43 | ||
\(2={\Large\frac{(k-1)+(k)+(k+1)}{{\left(\Large\frac{k-2}{2}\right)}+{\left(\Large\frac{k}{2}\right)}+{\left(\Large\frac{k+2}{2}\right)}}}\), als k even is. Bvb. \(2={\Large\frac{97+98+99}{48+49+50}}={\Large\frac{155+156+157}{77+78+79}}\) | 2.44 | ||
Som der reciproken van partitiegetallen van \(2\) levert nooit \(1\) op, de eerste in zijn soort. Bijgevolg ook geen partities met unieke termen. | 2.45 | ||
\(2!+2\)\(^{2}\)\(\,-\,1\) is een priemgetal \((=5)\), de tweede in zijn soort \((k!+2^k-1)~~\) (OEIS A186449) | 2.46 |
| Schakelaar \(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\) “Allemaal Getallen” |
|---|
| \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(3\) |
| \(1,2\) | |||
| Priemgetal | \(10_2\) | \(2_{16}\) | |
| \( \) | \(F(3)=2\) | \( \) | |
| Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx Toevoegingen & Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email) Laatste update 24 augustus 2024 |