$2=1+1$ (som van twee opeenvolgende Fibonaccigetallen en is daardoor zelf een getal van dat type)

$$en $F(2)$ is een priemgetal, de eerste in zijn soort (OEIS A005478) (OEIS A001605)

$2=(0;0;1;1)➋\to \{\mathrm{\#}1\}$

$2\mathbf{=}{0}^3+1^3+1^3\mathbf{=}(0;0;0;0;0;0;0;1;1)➌\to \{\mathrm{\#}1\}$

$2=\frac{{11480}^2+{11481}^2+{11482}^2+{11483}^2+{11484}^2}{{8117}^2+{8118}^2+{8119}^2+{8120}^2+{8121}^2}$ (een getallen curiositeit)

$2\mathbf{=}{2}^0+2^0\mathbf{=}{0}^{n>0}+2^1\mathbf{=}{1}^n+1^m\mathbf{=}{2}^2-2^1$

$2=(1\ast 2\ast 3)/3$ (OEIS A007290)

$2=!3$ (subfaculteit)

$2=4^2-3^2-2^2-1^2$

$2=\frac{\sqrt{2^3-2^2}}{\lfloor \sqrt{2}\rfloor }$

$2\mathbf{=}{3}^3-5^2$ ( waarschijnlijk de enige niet triviale oplossing met resultaat $2$ )

$2\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$$Er zijn $\mathrm{\infty }$ oplossingen mogelijk omwille van de parametrische vergelijking.

$$References Sum of Three Cubes

$$Er is een algemene formule die $2$ oplevert als som van drie derdemachten; het volstaat om een willekeurige

$$waarde voor $k$ in te vullen in deze formule : ${2=(1+6k^3)}^3+{(1-6k^3)}^3+{(-6k^2)}^3$

$$Deze formule werd gevonden in $1908$ door A.S. Verebrusov.

$$Maar daarnaast bestaan er ook minder voor de hand liggende sommen die niet tot deze familie behoren :

${1214928}^3+{3480205}^3+(-3528875{)}^3\mathbf{=}$

${37404275617}^3+(-25282289375{)}^3+(-33071554596{)}^3\mathbf{=}$

${3737830626090}^3+{1490220318001}^3+(-3815176160999{)}^3\mathbf{=}$

$2\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$0^m+1^n+1^n+k^5+(-k{)}^5(m>0)(m=5,n=5)\mathbf{=}$ (als niet van deze vorm dan $z>200$)

$2^2\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $4$

$2^3\mathbf{=}\to$ als som of verschil van twee machten zie bij paginagetal $8$

En dit is een uniek patroon : $2^4=4^2$

$2^6\mathbf{=}{4}^3\mathbf{=}{8}^2$

Alle even machten van $2$, verminderd met $1$, zijn deelbaar door $3$ :
$$\begin{array}{rl}{2}^2-1& =3\\ 2^4-1& =15\\ 2^6-1& =63\\ 2^8-1& =255\\ 2^{10}-1& =1023\\ \cdots & =\cdots \end{array}$$

$Opgave$
Bewijs dat $1=2$
$Oplossing$
We vertrekken van de volgende gelijkheid : $1-1=2-2$
Maar $2-2$ kunnen we ook schrijven als $2\ast 1-2\ast 1$ en als we de gemeenschappelijke factor $2$
afzonderen komt er $2\ast (1-1)$.
Op dezelfde manier kunnen we $1-1$ schrijven als $1\ast (1-1)$
Er staat dus $1\ast (1-1)=2\ast (1-1)$
Delen door $(1-1)$ levert dan $1=2$
De fout in het “bewijs” zit hem in de deling door $(1-1)$ wat niets anders is dan de deling door $0$,
hetgeen strikt verboden is.
Het bewijs is dus goed tot aan de lijn $1\ast (1-1)=2\ast (1-1)$. Wat daarna komt, kan niet.

$Opgave$
Men wil met $5$ gewichten zoveel mogelijk verschillende massa's wegen $(1,2,\dots \text{kg})$. De gewichten mogen
slechts langs één kant van de weegschaal gelegd worden. Welke keuze van gewichten zal men maken ?
$Opgave$
Gewichten van $1,2,4,8$ en $16\text{kg}$ laten toe van $1\text{kg}$ tot $31\text{kg}$ te wegen. Zie voor een variante bij 3.28

Berekent men de opeenvolgende machten van $2$ dan moet men gaan tot $2^{51}=2251799813685248$ om voor de eerste keer hierin de cijfers van $1$ tot $9$ te vinden. De kleinste macht van $2$ waarin de cijfers van $0$ tot $9$ voorkomen is $2^{68}=295147905179352825856$

Curiosum → geen enkele van deze derdemachten hebben een $2$ in hun decimale expansie $$\begin{array}{rl}{2}^3& =8\\ {22}^3& =10648\\ {222}^3& =10941048\\ {2222}^3& =10970645048\\ {22222}^3& =10973607685048\\ {222222}^3& =10973903978085048\end{array}$$

Enkel het cijfer $2$ wordt gebruikt in deze expressies van de getallen van $1$ tot $30$

$2\ast 10$${}^2$$-1$ is een veralgemeend Woodall priemgetal, de eerste in zijn soort ($k\ast {10}^k-1$).
(OEIS A059671) & (OEIS A216346)

$2$${}^2$$-2=2$ is een (even) priemgetal, de eerste in zijn soort $(2^k-k)$. (OEIS A048744)

$2\ast 2$${}^2$$-1$ is een Woodall priemgetal, de eerste in zijn soort ($k\ast 2^k-1$). (OEIS A002234) & (OEIS A003261)

$2$${}^2$$-2=2$ is een priemgetal, de eerste in zijn soort ($k^k-2$). (OEIS A100408)

$2=\sqrt{1+\sqrt{6+\sqrt{9}}}$

$2=(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}){}^2$

$2=\frac{3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2}{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2}$

Pari/GP code : sum(i=3,9,i^2)/sum(i=1,7,i^2)

$\begin{array}{r}2\mathbf{=}{\left(\frac{1}{1}\right)}^3+{\left(\frac{1}{1}\right)}^3\end{array}$

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A020898) (OEIS A228499)

$(x^3+y^3)/z^3=n\to$ [x waarde] (OEIS A190356)  [y waarde] (OEIS A190580)  [z waarde] (OEIS A190581)

Kleinste positieve oplossingen $\to$ [x waarde] (OEIS A254326)  [y waarde] (OEIS A254324)

$2!+2+1$ is een priemgetal, de derde in zijn soort $(k!+k+1)$ (OEIS A073308)

$2$${}^2$$+3$ is een priemgetal $(=7)$, de tweede in zijn soort $(2^k+3)$ (OEIS A057732)

$2=\frac{(k-1)+(k)+(k+1)}{\left(\frac{k-2}{2}\right)+\left(\frac{k}{2}\right)+\left(\frac{k+2}{2}\right)}$, als k even is. Bvb. $2=\frac{97+98+99}{48+49+50}=\frac{155+156+157}{77+78+79}$

Som der reciproken van partitiegetallen van $2$ levert nooit $1$ op, de eerste in zijn soort.

Bijgevolg ook geen partities met unieke termen.

(OEIS A028229) (OEIS A125726)

$2!+2$${}^2$$-1$ is een priemgetal $(=5)$, de tweede in zijn soort $(k!+2^k-1)$ (OEIS A186449)

$2$ heeft een priem aantal partities, namelijk $(2)$ (OEIS A046063) (OEIS A049575)

 ○–○–○ 

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$2=1+1$
$2=2$
$2=3-3/3$
$2=(4+4)/4$
$2=(5+5)/5$
$2=(6+6)/6$
$2=(7+7)/7$
$2=(8+8)/8$
$2=(9+9)/9$

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$2=123+4-56-78+9$
$2=9+87-65+4-32-1$

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^2$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc\left(9^2\right)=9\to$ Unieke oplossing voor $k>1$

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$