\(0=(0;0;0;0)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➋}}}\to\{\#1\}\)

\(0=(0;0;0;0;0;0;0;0;0)\lower2pt{\Large{\color{teal}{➌}}}\to\{\#1\}\)

0.1

\(0\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van drie derdemachten)

\(\qquad\)References Sum of Three Cubes

\(\qquad\bbox[#f4f4f4,3px,border:1px solid]{0^3+0^3+0^3}\) (de + tekens mogen ook door – tekens worden vervangen).

\(\qquad\)Algemeen heeft men \(\bbox[3px,border:1px solid]{0^m+n^3+(-n)^3}~(m=3)\) voor alle gehele getallen \(n\).

\(0\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)(som van vijf vijfdemachten)

\(\qquad\)(Websource)

\(\qquad\bbox[3px,border:1px blue solid]{0^n+m^5+(-m)^5+k^5+(-k)^5}~~(n\gt0)~~(n=5)\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\bbox[3px,border:1px blue solid]{27^5+84^5+110^5+133^5+(-144)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}(z\gt200)\)

\(\qquad\)Er is een algemene formule die \(0\) oplevert als som van vijf vijfdemachten; het volstaat om een willekeurige

\(\qquad\)waarde voor \(k\) in te vullen in bvb. deze formule : \(0={(27k)}^5+{(84k)}^5+{(110k)}^5+{(133k)}^5+{(-144k)}^5\)

\(\qquad\)Dit geldt voor elke gevonden oplossing uiteraard omdat \(k^5\) kan afgezonderd worden en \(0\) gedeeld door \(k^5\) blijft \(0\).

\({\qquad}k=2\to\bbox[3px,border:1px blue solid]{54^5+168^5+220^5+266^5+(-288)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\({\qquad}k=3\to\bbox[3px,border:1px blue solid]{81^5+252^5+330^5+399^5+(-432)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\({\qquad}k=4\to\bbox[3px,border:1px blue solid]{108^5+336^5+440^5+532^5+(-576)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\({\qquad}k=5\to\bbox[3px,border:1px blue solid]{135^5+420^5+550^5+665^5+(-720)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\({\qquad}k=6\to\bbox[3px,border:1px blue solid]{162^5+504^5+660^5+798^5+(-864)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\({\qquad}k=7\to\bbox[3px,border:1px blue solid]{189^5+588^5+770^5+931^5+(-1008)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\({\qquad}k=8\to\bbox[3px,border:1px blue solid]{216^5+672^5+880^5+1064^5+(-1152)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\({\qquad}k=9\to\bbox[3px,border:1px blue solid]{243^5+756^5+990^5+1197^5+(-1296)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\({\qquad}k=10\to\bbox[3px,border:1px blue solid]{270^5+840^5+1100^5+1330^5+(-1440)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\({\qquad}k=11\to\bbox[3px,border:1px blue solid]{297^5+924^5+1210^5+1463^5+(-1584)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\({\qquad}k=12\to\bbox[3px,border:1px blue solid]{324^5+1008^5+1320^5+1596^5+(-1728)^5}\mathbf{\color{blue}{\;=\;}}\)

\(\qquad\)Maar daarnaast bestaan er ook minder voor de hand liggende sommen :

\(\qquad\bbox[3px,border:1px blue solid]{(-220)^5+5027^5+6237^5+14068^5+(-14132)^5}\)

\(\qquad\bbox[3px,border:1px blue solid]{55^5+3183^5+28969^5+85282^5+(-85359)^5}\)

0.2
Nul of zero is de meest beknopte manier om aan te duiden dat er helemaal niets is. Nul wordt niet
gerekend tot de natuurlijke (zijnde gehele positieve) getallen, dit is de rij die begint met \(1, 2, 3, 4, \ldots\)
Nul is noch positief, noch negatief. Het kan ook niet ontbonden worden in priemfactoren en het is
deelbaar door alle getallen.
Nul is geen priemgetal (een priemgetal heeft immers exact twee verschillende delers); het is evenmin een
samengesteld getal (een samengesteld getal is gelijk aan het product van ten minste twee priemfactoren).
Nul wordt als een even getal beschouwd.
Rekenregels met \(0\) : (\(a\) is een willekeurig getal verschillend van \(0\))
\(a-a=0\)
\(a+0=0+a=a\)
\(a-0=a\)
\(0-a=-a\)
\(a*0=0*a=0\)
\(0+0=0\)
\(0-0=0\)
\(0*0=0\) (hieruit blijkt dat \(0\) een kwadraat is)
\(0=-0\) (nul is zijn eigen negatie)
\(a/0=\small{VERBODEN}\) (onbepaald)
\(0/a=0\) (let wel, \(a\) moet verschillend van \(0\) zijn)
\(0/0=\;?\) (onbepaald)
\(0!=1\)
\((-1)^0=1\)
\(!1=0\) (subfaculteit)
\(a^0=1\) (voor \(a\gt0\))
\(0^a=0\) (voor \(a\gt0\)) (als \(a\lt0\) dan is \(0^a\) onbepaald)
\(0^0=\;?\) (onbepaald)(*)
\(\log_n(1)=0\) (voor alle grondtallen n)
GGD \((0,a)=a\)
GGD \((0,0)=\;?\) (onbepaald)
KGV \((0,a)=0\)

(*) De uitdrukking \(0^0\) wordt meestal als niet zinvol bestempeld, maar een andere opvatting stelt \(0^0 = 1\)
en dit is gebaseerd op de waarneming dat, als \(a\) een zeer klein getal is, in de buurt van \(0\), dat de waarde
van \(a^a\) dicht bij \(1\) ligt : zo heeft men bijvoorbeeld dat
\(0,001^{0,001} = 0,993116\ldots\) en \(0,000001^{0,000001} = 0,999986\ldots\approx1\)

0.3
  MERKWAARDIGHEDEN  

Pandigitale uitdrukking met als resultaat \(0\to((4+5)/(2+7))-((3*18)/(6*9))=0\)
Met de cijfers \(1\) tot \(8\) in volgorde : \(12-34-56+78=0\)

0.4
Het kleinste priemgetal waarin het cijfer \(0\) voorkomt is \(101\); waarin twee maal het cijfer \(0\) voorkomt is \(1009\);
waarin drie maal het cijfer \(0\) voorkomt is \(10007\) en vier maal het cijfer \(0\) vinden we in het priemgetal \(100003\).
Vijf maal het cijfer \(0\) vinden we in het priemgetal \(1000003\). Zes maal in \(20000003\) en zeven maal in \(100000007\).
0.5

Lijst van de priemgetallen van vier cijfers met twee nullen erin :

\(1009,2003,3001,4001,4003,4007,5003,5009,6007,7001,8009,9001,9007\)

Dit is een deelreeks van (OEIS A069675)

0.6
  EEN PUZZEL  

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Wat is het resultaat van de volgende vermenigvuldiging :
\((x-a)*(x-b)*(x-c)*(x-d)*\dots*(x-y)*(x-z)=\;?\)
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
Eén van de factoren is \((x-x)=0\) dus het ganse product is gelijk aan \(0\).

0.7
  EEN PUZZEL  

\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Opgave\;}\)
Hoe kan men \(2\) bekomen met twee maal een \(0\) ?
\(\bbox[3px,border:1px solid blue]{\;Oplossing\;}\)
\((0!+0!)!=2\) want \(0!=1\) en dus \((1+1)!=2!=2*1=2\)
Op dezelfde manier kan men andere getallen maken, bvb. \((0!+0!+0!+0!)!=4!=24\)

0.8
\(0\) schrijven met behulp van de cijfers \(1,2,3\) en \(4\) :
\(\quad3-4+2-1~~=~~1^2-(4-3)~~=~~1^2+(3-4)~~=~~4-3!+2^1~~=~~12/3-4~~=~~\sqrt4-3+2-1\)
Vindt jij er meer ?
0.9
Schakelaar
\(\mathbf[0\gets\to1000\mathbf]\)
Allemaal Getallen


0   
 
\(0_2\)\(0_8\)\(0_{16}\)
  \(0=0^2=0^3\)

Uit de collectie 'Allemaal Getallen' van Ir. Jos Heynderickx
Bewerking & Layout door Patrick De Geest (email)
Laatste update 11 mei 2024