$679\mathbf{=}$ de som van opeenvolgende gehele getallen op drie verschillende wijzen :

$$\{\begin{array}{l}679=42+43+44+45+46+47+48+49+50+51+52+53+54+55\\ 679=94+95+96+97+98+99+100\\ 679=339+340\end{array}$$

$679=91+93+95+97+99+101+103$ (som van opeenvolgende onpare getallen)

$679\mathbf{=}59+61+67+71+73+79+83+89+97\mathbf{=}223+227+229$ (som van opeenvolgende priemgetallen)

$679\mathbf{=}3+6+10+15+21+28+36+45+55+66+78+91+105+120\mathbf{=}$

$D(2)+D(3)+\cdots +D(14)+D(15)$ (som van opeenvolgende driehoeksgetallen)

$679=((1;1;1;26)(1;2;7;25)(1;5;13;22)(1;7;10;23)(1;10;17;17)(1;11;14;19)(2;3;15;21)$
$(2;5;5;25)(2;5;11;23)(2;5;17;19)(2;15;15;15)(3;3;6;25)(3;11;15;18)(5;5;10;23)$
$(5;7;11;22)(5;13;14;17)(6;9;11;21)(7;9;15;18)(7;10;13;19)(10;11;13;17))➋\to \{\mathrm{\#}20\}$

$679=((0;0;1;1;3;3;4;6;7)(0;0;3;3;5;5;5;5;5)(0;1;1;1;1;3;6;6;6)(0;1;3;3;4;4;4;6;6)$
$(0;2;2;2;4;5;5;5;6)(0;2;2;4;4;4;4;4;7)(1;1;1;1;2;3;4;4;8)(1;1;2;2;2;2;2;5;8)$
$(1;1;3;3;3;4;4;5;7)(2;2;2;2;3;3;5;5;7))➌\to \{\mathrm{\#}10\}$

$679=3^3+3^3+{25}^2$

$679=8^2+9^2+{10}^2+{11}^2+{12}^2+{13}^2$

$679=(67\ast 9)+67+9$

$679\mathbf{=}{2}^{11}-{37}^2\mathbf{=}{52}^2-{45}^2\mathbf{=}{340}^2-{339}^3$

$679\mathbf{=}$(som van drie derdemachten)

$$Getallen van de vorm $9m+4$ of $9m+5$ kunnen nooit als som van drie derdemachten geschreven worden.

$$In dit geval is $m=75(+4)$.

$679\mathbf{=}$(som van vier derdemachten)

$(z>1000)$

$679\mathbf{=}$(som van vijf vijfdemachten)

$oplossingonbekend\mathbf{=}(z>150)$

$679$ is de som van $9$ positieve vijfdemachten : $679=3^5+3^5+2^5+2^5+2^5+2^5+2^5+2^5+1^5$ (OEIS A003354)

De priemfactoren van $679$ aaneengeschreven vormen een palindroom $797$.

${679}^2\mathbf{=}{33}^3+{652}^2\mathbf{=}{455}^2+{504}^2$

${679}^3\mathbf{=}$( geen oplossing gevonden met limieten grondtal $9999$ en exponent $19$ )$\mathbf{=}\cdots \mathbf{=}{230860}^2-{230181}^2$

De persistentie van een getal is het aantal keren dat men een bepaalde bewerking op het getal
moet uitvoeren om tot een resultaat te komen waarbij de bewerking geen effect meer heeft.
Een voorbeeld : We vertrekken van het getal $478$ en vermenigvuldigen de cijfers en herhalen dit :
$478$ geeft $4\ast 7\ast 8=224$; $2\ast 2\ast 4=16$ en tenslotte $1\ast 6=6$ en het proces stopt. We hebben hier te maken
met een multiplicatieve persistentie van $3$ (we bereiken het eindresultaat van één cijfer na $3$ stappen.
Naast de multiplicatieve persistentie bestaat er ook een additieve waarbij men de som van de cijfers maakt,
bvb. $478$ levert $4+7+8=19$; $1+9=10$ en tenslotte $1+0=1$ (persistentie $3$).
Het getal $679$ is het kleinste getal met multiplicatieve persistentie $5$ :
$679$ geeft $6\ast 7\ast 9=378$; $3\ast 7\ast 8=168$; $1\ast 6\ast 8=48$; $4\ast 8=32$; $3\ast 2=6$
(OEIS A003001) geeft de kleinste getallen met multiplicatieve persistentie $0,1,2,\dots$
$\to$ de rij begint als volgt : $0,10,25,39,77,679,6788,68889,\dots$
(OEIS A006050) geeft hetzelfde voor additieve persistentie.
$\to$ de rij begint als volgt : $0,10,19,199,\dots$

Zie ook bij rubrieken 11.22 en 77.12

Men moet $679$ tot minimaal de $213535$ste macht verheffen opdat in de decimale expansie exact $679$ $679$'s verschijnen.
Terloops : $679$${}^{213535}$ heeft een lengte van $604704$ cijfers.

De eerste keer dat er $679$ opeenvolgende samengestelde getallen voorkomen gebeurt tussen priemgetallen
$82385435331119$ en $82385435331799$ met aldus een priemkloof van $680.$ (OEIS A000101.pdf)

De som van de cijfers van $679$ is groter dan de som van de cijfers van ${679}^2$ (OEIS A064399)

$(6+7+9=22)>(4+6+1+0+4+1=16)$

$\begin{array}{r}679\mathbf{=}{\left(\frac{976}{111}\right)}^3-{\left(\frac{103}{111}\right)}^3\end{array}$

(Integral Sum of Two Rational Cubes) (OEIS A228499)

 ○–○–○ 

Som Der Cijfers ($sdc$) van $k^{679}$ is gelijk aan het grondtal $k$. De triviale oplossingen $0$ en $1$ negerend vinden we :

$sdc({12361}^{679})=12361$
$sdc({12474}^{679})=12474$
$sdc({12492}^{679})=12492$
$sdc({12514}^{679})=12514$
$sdc({12526}^{679})=12526$
$sdc({12559}^{679})=12559$
$sdc({12582}^{679})=12582$
$sdc({12625}^{679})=12625$
$sdc({12667}^{679})=12667$
$sdc({12745}^{679})=12745$
$sdc({12854}^{679})=12854$

Expressie met tweemaal de cijfers uit het getal $679$
$679=(6$^^$7)\ast 9+(6$^^$7)+9$

${679}^2$ heeft $11451$ mogelijke oplossingen als som van kwadraten met maximaal vier positieve termen :
Met $1$ term → #$1$
Met $2$ termen → #$1\to {679}^2\mathbf{=}{455}^2+{504}^2$
Met $3$ termen → #$109\to {679}^2\mathbf{=}{6}^2+{186}^2+{653}^2\mathbf{=}\cdots \mathbf{=}{374}^2+{387}^2+{414}^2$
Met $4$ termen → #$11340\to {679}^2\mathbf{=}{2}^2+2^2+{52}^2+{677}^2\mathbf{=}\cdots \mathbf{=}{324}^2+{336}^2+{337}^2+{360}^2$
Met priemtermen → #$0\to nihil$

Als expressie met enkelcijferige toepassing, resp. van $1$ tot $9$ (met dank aan Inder. J. Taneja).
$679=((1+1{)}^{11}-11)/(1+1+1)$
$679=(22+2+2{)}^2+2+2/2$
$679=3+(3^3-3/3{)}^{(3-3/3)}$
$679=(4+44/4)\ast (44+4/4)+4$
$679=55+(5^5-5)/5$
$679=666+6+6+6/6$
$679=7\ast 7\ast (7+7)-7$
$679=8\ast (88+8)-88-8/8$
$679=9\ast 9\ast 9-(9\ast 99+9)/(9+9)$

Met de cijfers van $1$ tot $9$ in stijgende en dalende volgorde (met dank aan Inder. J. Taneja) :
$679=12\ast 3+4+567+8\ast 9$
$679=9+8\ast 76+5\ast 4\ast 3+2\ast 1$

$⏮$

$⯬$

$⏴$

$⏵$

$⯮$

$⏭$