World!Of
Numbers

WON plate
162 |


[ January 16, 2005 ]
Hugo Sánchez' new batch of palindromes (email)
Sumas Palindromizadas con Factores de Corrección.
Naturales del 1 al 100.
.


Patrones Palindrómicos Infinitos con Factores de Corrección,
aplicados a la Sucesión de Números Naturales de 1 al 100
(1 al 9 y luego 10 al 100).

Sumatorias Generalizadas de la Secuencia de los Naturales.
Explicaciones Preliminares:

Parte I. Secuencia de Naturales con un Dígito.

a)   9
S
i=1
(in)

n = 2 : 11 + 22 + 33 + ... + 99 = 495
n = 3 : 111 + 222 + 333 + ... + 999 = 4995
n = 4 : 1111 + 2222 + 3333 + ... + 9999 = 49995
...
n = 20 : 11...11 + 22...22 + 33...33 + ... + 99...99 =
4_9999999999999999999_5

b)     El patrón es claro : 4(9n-1)5 si se le resta 1,
se Palindromiza el resultado, así :

9
S
i=1
(in) — 1= 4(9n-1)4 , n > 1

Parte II. Secuencia de los Naturales con dos Dígitos.

a)   99
S
i=10
(in)

n = 1 : 10 + 11 + 12 + 13 + ... + 98 + 99 = 4905
n = 2 : 1010 + 1111 + 1212 + 1313 + ... + 9898 + 9999 = 495405
n = 3 : 101010 + 111111 + 121212 + ... + 989898 + 999999 = 49545405
...
n = 20 : 10...10 + 11...11 + 12...12 + ... + 98...98 + 99...99 =
49_54545454545454545454545454545454545454_05 = 49(5419)05

b)     El patrón es claro : 49(54n-1)05. Notar que

n = 2 :   495405 + 535
10
= 49594 = 49(542-2)594
n = 3 :   49545405 + 535
10
= 4954594 = 49(543-2)594
n = 20 :   49(5419)05 + 535
10
= 49(5420-2)594
Esto evidencia que se Palindromiza la Sumatoria así :

99
S (in) + 535
i=10
        10



= 49(54n-2)594 , con n > 1

Parte III. Los Patrones con tres Dígitos (100 a 999)

en adelante (4, 5, 6, ...)
no son Palindromizables con Factores de Corrección.

Caso I : Sumatorias Generalizadas Unidigitales

1.   2
S
i=1
(in)= 3n , n >= 1

2.   3
S
i=1
(in)= 6n , n >= 1

3.   4
S
i=1
(in) + 1= 1n+1 , n >= 1

4.   5
S
i=1
(in) — 4= 1(6n-1)1 , n >= 2

5.   6
S
i=1
(in) + 1= 2(3n-1)2 , n >= 1

6.   7
S
i=1
(in) + 5= 3(1n-1)3 , n >= 1

7.   8
S
i=1
(in) — 3= 3(9n-1)3 , n >= 1

8.   9
S
i=1
(in) — 1= 4(6n-1)4 , n >= 1

9.   9
S
i=2
(in)= 4(8n-1)4 , n >= 2

10.   8
S
i=2
(in) — 2= 3(8n-1)3 , n >= 1

11.   7
S
i=2
(in) — 5= 2(9n-1)2 , n >= 1

12.   6
S
i=2
(in) + 2= 2n+1 , n >= 1

13.   5
S
i=2
(in) — 3= 1(5n-1)1 , n >= 1

14.   4
S
i=2
(in)= 9n , n >= 1

15.   3
S
i=2
(in)= 5n , n >= 1

16.   9
S
i=3
(in) + 2= 4(6n-1)4 , n >= 1

17.   8
S
i=3
(in)= 3(6n-1)3 , n >= 1

18.   7
S
i=3
(in) — 3= 2(7n-1)2 , n >= 1

19.   6
S
i=3
(in) — 7= 1(9n-1)1 , n >= 1

20.   5
S
i=3
(in) — 1= 1(3n-1)1 , n >= 1

21.   4
S
i=3
(in)= 7n , n >= 1

22.   9
S
i=4
(in) + 5= 4(3n-1)4 , n >= 2

23.   8
S
i=4
(in) + 3= 3n+1 , n >= 2

24.   7
S
i=4
(in)= 2(4n-1)2 , n >= 2

25.   6
S
i=4
(in) — 4= 1(6n-1)1 , n >= 2

26.   5
S
i=4
(in)= 9n , n >= 1

27.   9
S
i=5
(in) — 2= 3(8n-1)3 , n >= 2

28.   8
S
i=5
(in) — 4= 2(8n-1)2 , n >= 2

29.   7
S
i=5
(in) — 7= 1(9n-1)1 , n >= 2

30.   6
S
i=5
(in)= 1(2n-1)1 , n >= 2

31.   9
S
i=6
(in) + 3= 3n+1 , n >= 2

32.   8
S
i=6
(in) + 1= 2(3n-1)2 , n >= 2

33.   7
S
i=6
(in) — 2= 1(4n-1)1 , n >= 2

34.   9
S
i=7
(in) — 2= 2(6n-1)2 , n >= 2

35.   8
S
i=7
(in) — 4= 1(6n-1)1 , n >= 2

36.   9
S
i=8
(in) — 6= 1(8n-1)1 , n >= 2

Caso II : Sumatorias Generalizadas Bidigitales



1 )   
99
S (in) + 535
i=10
        10



= 49(54n-2)594 , n >= 2



2 )   
98
S (in) + 434
i=10
        10



= 48(54n-2)584 , n >= 2



3 )   
97
S (in) + 232
i=10
        10



= 47(55n-2)574 , n >= 2



4 )   
96
S (in) — 71
i=10
        10



= 46(57n-2)564 , n >= 2



5 )   
95
S (in) + 525
i=10
        10



= 45(60n-2)654 , n >= 2



6 )   
94
S (in) + 20
i=10
        10



= 44(64n-2)644 , n >= 2



7 )   
93
S (in) — 586
i=10
        10



= 43(69n-2)634 , n >= 2



8 )   
92
S (in) — 293
i=10
        10



= 42(75n-2)724 , n >= 2



9 )   
91
S (in) — 101
i=10
        10



= 41(82n-2)814 , n >= 2



10 )   
90
S (in) — 10
i=10
        10



= 40(90n-2)904 , n >= 2

11 )   89
S
i=10
(in) + 33 = 3(92.n)3 , n >= 2



12 )   
88
S (in) + 959
i=10
        10



= 39(10n-2)193 , n >= 2  [primes possible]



13 )   
87
S (in) + 747
i=10
        10



= 38(21n-2)283 , n >= 2  [primes possible]

14 )   86
S
i=10
(in) + 77 = 37(32.(n-1))73 , n >= 2  [primes possible]



15 )   
85
S (in) + 20
i=10
        10



a )   = 36(46n-2)463 , n >= 2 or
b )   = 3(64n-1)63 , n >= 1  [primes possible]



16 )   
84
S (in) + 505
i=10
        10



= 35(60n-2)653 , n >= 2  [primes possible]



17 )   
83
S (in) — 201
i=10
        10



= 34(75n-2)743 , n >= 2  [primes possible]



18 )   
82
S (in) + 172
i=10
        10



= 33(91n-2)933 , n >= 2  [primes possible]



19 )   
81
S (in) — 546
i=10
        10



= 33(09n-2)033 , n >= 2



20 )   
80
S (in) — 465
i=10
        10



= 32(27n-2)223 , n >= 2  [primes possible]



21 )   
79
S (in) — 485
i=10
        10



= 31(46n-2)413 , n >= 2  [primes possible]

22 )   78
S
i=10
(in) — 33 = 30(62.(n-1))03 , n >= 1



23 )   
77
S (in) + 162
i=10
        10



= 29(87n-2)892 , n >= 2



24 )   
76
S (in) + 939
i=10
        10



= 29(10n-2)192 , n >= 2



25 )   
75
S (in) + 515
i=10
        10



= 28(33n-2)382 , n >= 2



26 )   
74
S (in) — 10
i=10
        10



= 27(57n-2)572 , n >= 2



27 )   
73
S (in) + 364
i=10
        10



= 26(82n-2)862 , n >= 2



28 )   
72
S (in) — 264
i=10
        10



= 26(09n-2)062 , n >= 2



29 )   
71
S (in) — 91
i=10
        10



= 25(36n-2)352 , n >= 2



30 )   
70
S (in) — 20
i=10
        10



= 24(64n-2)642 , n >= 2



31 )   
69
S (in) — 50
i=10
        10



= 23(93n-2)932 , n >= 2



32 )   
68
S (in) — 81
i=10
        10



= 23(24n-2)232 , n >= 2



33a )   
67
S (in) — 313
i=10
        10



= 22(55n-2)522 , n >= 2

33b )   67
S
i=10
(in) — 11 = 22(52.(n-1))22 , n >= 1



34 )   
66
S (in) — 646
i=10
        10



= 21(87n-2)812 , n >= 2



35 )   
65
S (in) + 20
i=10
        10



= 21(21n-2)212 , n >= 2



36a )   
64
S (in) — 515
i=10
        10



= 20(55n-2)502 , n >= 2

36b )   64
S
i=10
(in) — 33 = 20(52.(n-1))02 , n >= 1



37 )   
63
S (in) + 839
i=10
        10



= 19(90n-2)991 , n >= 2  [primes possible]



38 )   
62
S (in) + 202
i=10
        10



= 19(27n-2)291 , n >= 2  [primes possible]



39 )   
61
S (in) + 364
i=10
        10



= 18(64n-2)681 , n >= 2  [primes possible]



40 )   
60
S (in) + 525
i=10
        10



= 18(03n-2)081 , n >= 2  [primes possible]



41 )   
59
S (in) + 525
i=10
        10



= 17(42n-2)471 , n >= 2  [primes possible]



42 )   
58
S (in) + 344
i=10
        10



= 16(82n-2)861 , n >= 2  [primes possible]



43 )   
57
S (in) + 202
i=10
        10



= 16(24n-2)261 , n >= 2  [primes possible]



44a )   
56
S (in) — 141
i=10
        10



= 15(66n-2)651 , n >= 2  [primes possible]

44b )   56
S
i=10
(in) = 15(62.(n-1))51 , n >= 1  [primes possible]



45 )   
55
S (in) + 515
i=10
        10



= 15(10n-2)151 , n >= 2  [primes possible]



46 )   
54
S (in) — 30
i=10
        10



= 14(54n-2)541 , n >= 2  [primes possible]



47 )   
53
S (in) — 676
i=10
        10



= 13(99n-2)931 , n >= 2  [primes possible]



48 )   
52
S (in) — 323
i=10
        10



= 13(46n-2)431 , n >= 2  [primes possible]



49 )   
51
S (in) — 171
i=10
        10



= 12(93n-2)921 , n >= 2  [primes possible]



50 )   
50
S (in) — 20
i=10
        10



= 12(42n-2)421 , n >= 2  [primes possible]



51 )   
49
S (in) — 70
i=10
        10



= 11(91n-2)911 , n >= 2  [primes possible]



52 )   
48
S (in) — 121
i=10
        10



= 11(42n-2)411 , n >= 2  [primes possible]



53 )   
47
S (in) — 373
i=10
        10



= 10(93n-2)901 , n >= 2  [primes possible]



54 )   
46
S (in) — 626
i=10
        10



= 10(46n-2)401 , n >= 2  [primes possible]



55 )   
45
S (in)
i=10
    10



= 92.n



= 9(99n-2)999 , n >= 2

56 )   44
S
i=10
(in) + 14 = 9(54n-1)59 , n >= 1  [primes possible]

57 )   43
S
i=10
(in) + 18 = 9(10n-1)19 , n >= 1  [primes possible]

58 )   42
S
i=10
(in) + 10 = 8(66n-1)68 , n >= 1

59 )   41
S
i=10
(in) + 12 = 8(24n-1)28 , n >= 1

60 )   40
S
i=10
(in) + 12 = 7(82n-1)87 , n >= 1  [primes possible]

61 )   39
S
i=10
(in) + 12 = 7(42n-1)47 , n >= 1  [primes possible]

62 )   38
S
i=10
(in) + 11 = 7(03n-1)07 , n >= 1  [primes possible]

63 )   37
S
i=10
(in) + 8 = 6(64n-1)66 , n >= 1

64 )   36
S
i=10
(in) + 5 = 6(27n-1)26 , n >= 1

65 )   35
S
i=10
(in) + 10 = 5(90n-1)95 , n >= 1

66 )   34
S
i=10
(in) + 5 = 52.n+1 = 5(55n-1)55 , n >= 1

67 )   33
S
i=10
(in) + 9 = 5(21n-1)25 , n >= 1

68 )   32
S
i=10
(in) + 1 = 4(87n-1)84 , n >= 1

69 )   31
S
i=10
(in) + 3 = 4(52.n-1)4 , n >= 1

70 )   30
S
i=10
(in) + 4 = 4(24n) = (42n)4 = 4(24n-1)24 , n >= 1

71 )   29
S
i=10
(in) + 3 = 3(93n) = (39n)3 = 3(93n-1)93 , n >= 1

72 )   28
S
i=10
(in) + 2 = 3(64n-1)63 , n >= 1  [primes possible]

73 )   27
S
i=10
(in) = 3(36n-1)33 , n >= 1

74 )   26
S
i=10
(in) — 3 = 3(09n-1)03 , n >= 1

75 )   25
S
i=10
(in) + 2 = 2(82n) = (28n)2 , n >= 1

76 )   24
S
i=10
(in) — 3 = 2(57n-1)52 , n >= 1

77 )   23
S
i=10
(in) + 1 = 2(33n-1)32 = 2(32.n-1)2 , n >= 1

78 )   22
S
i=10
(in) + 4 = 2(10n-1)12 , n >= 1

79 )   21
S
i=10
(in) — 5 = 1(87n-1)81 , n >= 1  [primes possible]

80 )   20
S
i=10
(in) — 4 = 1(62.n-1)1 , n >= 1  [primes possible]

81 )   19
S
i=10
(in) — 4 = 1(46n-1)41 , n >= 1  [primes possible]

82 )   18
S
i=10
(in) — 5 = 1(27n-1)21 , n >= 1  [primes possible]

83 )   17
S
i=10
(in) — 7 = 1(09n-1)01 , n >= 1  [primes possible]



84a )   
16
S (in) — 1
i=10
        10



= (91n-1)9



= 9(19n-1)9 , n >= 1  [primes possible]

84b )   16
S
i=10
(in) + 9 = (91n-1)9 , n >= 1  [primes possible]



85a )   
15
S (in) — 5
i=10
        10



= (75n-1)7



= 7(57n-1) , n >= 1  [primes possible]

85b )   15
S
i=10
(in) + 7 = (75n-1)7 , n >= 1  [primes possible]



86 )   
14
S (in)
i=10
    10



= (60n-1)6



= 6(06n-1) , n >= 1



87 )   
13
S (in) — 6
i=10
        10



= 4(64n-1)



= (46n-1)4 , n >= 1

88 )   12
S
i=10
(in) = 32.n , n >= 1



89 )   
11
S (in) — 1
i=10
        10



= 2(12n-1)



= (21n-1)2 , n >= 1


Other Hugo Sánchez plates
won84.htm won106.htm won153.htm




A000162 Prime Curios! Prime Puzzle
Wikipedia 162 Le nombre 162














[ TOP OF PAGE]


( © All rights reserved )
Patrick De Geest - Belgium - Short Bio - Some Pictures
E-mail address : pdg@worldofnumbers.com